课时规范练60 离散型随机变量及其分布列一、基础巩固组1.袋中装有除颜色外其他完全相同的10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤52.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5163.(2022湖北武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下:η-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是( )A.x≤2B.1≤x≤2C.1<x≤2D.1<x<24.(2022河北邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于( )A.15B.25C.35D.455.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C74C86C1510的是( )A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)6.一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )A.C12103810582B.C12938958238C.C119589382D.C11938105827.从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 . 8.甲、乙两人射击,已知甲每次击中目标的概率为14,乙每次击中目标的概率为13.(1)两人各射击一次,求至少有一人击中目标的概率;(2)若制定规则如下:两人轮流射击,每人至多射击2次,甲先射,若有人击中目标即停止射击.①求乙射击次数不超过1次的概率;②记甲、乙两人射击次数和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.6\n〚导学号21500781〛二、综合提升组9.(2022山东烟台模拟)一只袋内装有m个白球、n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n-m)Am2An3的是( )A.P(ξ=3)B.P(ξ≥2)C.P(ξ≤3)D.P(ξ=2)10.有10件产品,其中3件是次品,从这10件产品中任取两件,用ξ表示取到次品的件数,则E(ξ)等于( )A.35B.815C.1415D.111.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数,则P(ξ=2)= . 12.(2022河南商丘二模,理18)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪70元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成5元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下表频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天 数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天 数1020204010(1)现从甲公司记录的100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;(2)若将频率视为概率,回答下列问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.〚导学号21500782〛13.(2022山西临汾三模,理19)学校的校园活动中有这样一个项目:甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球,3个黑球.乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球,2个黑球.(1)从两个箱子中分别摸出1个球,如果它们都是白球则获胜,有人认为,这两个箱子里装的白球比黑球多,所以获胜的概率大于0.5,你认为呢?并说明理由;(2)如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球,求取到的白球个数的分布列和数学期望;(3)如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱子中,充分混合后,再从乙箱子中取出2个球放回甲箱子,求甲箱子中白球个数没有减少的槪率.6\n〚导学号21500783〛三、创新应用组14.(2022云南高考二模,理18)为吸引顾客,某公司在商场举办电子游戏活动.对于A,B两种游戏,每种游戏玩一次均会出现两种结果,而且每次游戏的结果相互独立,具体规则如下:玩一次游戏A,若绿灯闪亮,获得50分,若绿灯不闪亮,则扣除10分,绿灯闪亮的概率为12;玩一次游戏B,若出现音乐,获得60分,若没有出现音乐,则扣除20分(即获得-20分),出现音乐的概率为25.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品.(1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若某人玩5次游戏B,求该人能兑换奖品的概率.15.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和均值E(X).〚导学号21500784〛6\n课时规范练60 离散型随机变量及其分布列1.C “放回5个红球”表示前五次都摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.2.A P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=123+124=316.3.C 由离散型随机变量的概率分布列知P(η<-1)=0.1,P(η<0)=0.3,P(η<1)=0.5,P(η<2)=0.8,则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是1<x≤2.4.D P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-C41C22C63=45.5.C X服从超几何分布,P(X=k)=C7kC810-kC1510,故k=4.6.D “X=12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P(X=12)=38C119389·582=C1193810582.7.45 设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C20C43C63+C21C42C63=45.8.解(1)事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,故两人各射击一次,至少有一人击中目标的概率P=1-P(AB)=1-1-14×1-13=12.(2)①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”,所以乙射击次数不超过1次的概率P=1-P(ABA)=1-34×23×34=58.②甲、乙两人射击次数和为ξ,ξ的取值为1,2,3,4.P(ξ=1)=P(A)=14,P(ξ=2)=P(AB)=34×13=14,P(ξ=3)=P(ABA)=34×23×14=18,P(ξ=4)=P(ABA)=34×23×34=38,则ξ的分布列为:ξ1234P14141838故E(ξ)=1×14+2×14+3×18+4×38=218.9.D 依题意知,(n-m)Am2An3是取了3次,所以取出白球应为2个.10.A ξ服从超几何分布P(ξ=x)=C3xC72-xC102(x=0,1,2),则P(ξ=0)=C72C102=2145=715,P(ξ=1)=C71C31C102=715,P(ξ=2)=C32C102=115.故E(ξ)=0×715+1×715+2×115=35.故选A.11.310 P(ξ=2)=C32·C22+C31·C21·C41C42·C62=2790=310.12.解(1)记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M,则P(M)=C202C1002=19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a,则当a=38时,X=38×5=190,当a=39时,X=39×5=195,当a=40时,X=40×5=200,6\n当a=41时,X=40×5+1×7=207,当a=42时,X=40×5+2×7=214.则X的所有可能取值为190,195,200,207,214.所以X的分布列为:X190195200207214P110151525110故E(X)=190×110+195×15+200×15+207×25+214×110=10115.②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5.所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228(元).由①得乙公司送餐员日平均工资为202.2元.因为202.2<228,故推荐小明去甲公司应聘.13.解(1)我认为“获胜”的概率小于0.5.理由如下:记“获胜”为事件A,则P(A)=47×35=1235<0.5,故“获胜”的概率小于0.5.(2)设取出的白球的个数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=C41C33C74=435,P(X=2)=C42C32C74=1835,P(X=3)=C43C31C74=1235,P(X=4)=C44C30C74=135,则X的分布列为:X1234P43518351235135故E(X)=1×435+2×1835+3×1235+4×135=167.(3)记“甲箱子中白球个数没有减少”为事件B,则P(B)=C32C72+C41C31C72·C42+C41C31C72+C42C72·C52C72=113147.14.解(1)随机变量X的所有可能取值为110,50,30,-30,分别对应以下四种情况:①玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,出现音乐;②玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,出现音乐;③玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐;④玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐.所以P(X=110)=12×25=15,P(X=50)=1-12×25=15,P(X=30)=12×1-25=310,P(X=-30)=1-12×1-25=310,即X的分布列为:X1105030-30P1515310310故E(X)=110×15+50×15+30×310-30×310=32.(2)设某人玩5次游戏B的过程中,出现音乐n次,则没出现音乐(5-n)次,依题意得60n-20(5-n)≥130,解得n≥238,所以n=3或4或5.设“该人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M,则P(M)=C53×253×352+C54×254×35+255=9923125.15.解(1)∵第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,6\n∴高为0.35=0.06.频率分布直方图补全如下:∵第一组的人数为1200.6=200,频率为0.04×5=0.2,∴n=2000.2=1000.第二组的频率为0.06×5=0.3,故第二组的人数为1000×0.3=300,因此p=195300=0.65.由题意可知,第四组的频率为0.03×5=0.15,故第四组的人数为1000×0.15=150,因此a=150×0.4=60.(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,∴采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人.可知随机变量X服从超几何分布,∴P(X=0)=C120C63C183=5204,P(X=1)=C121C62C183=1568,P(X=2)=C122C61C183=3368,P(X=3)=C123C60C183=55204.∴随机变量X的分布列为:X0123P52041568336855204∴E(X)=0×5204+1×1568+2×3368+3×55204=2.6
