集合与常用逻辑用语第一单元集合考点要求一、集合1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的根本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的根本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【知识网络】集合与简易逻辑集合简易逻辑根本概念、分类与表示关系运算元素与集合关系集合与集合关系逻辑联结词简单命题与复合命题命题的四种形式及其关系 充要条件交集并集补集第一节集合的概念与相互关系自主学习1．集合的含义与表示（1）一般地，把一些指定的对象组成的总体叫做集合，集合中的对象称元素，假设a是集合A的元素，记作；假设b不是集合的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性三大特性；（3）常用的集合表示法：列举法、描述法或图示法（图）；（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作．2．集合间的关系：（1）集合的任何一个元素都是集合的元素，那么称是的子集（或B包含），记作．（2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样，假设且，那么称等于，记作．（3）假设且，那么称是的真子集，或者假设，但存在元素且，那么称是的真子集，记作．（4）不含任何元素的集合称为空集，记作．规定：空集是任何集合的子集．17/17\n（5）简单性质：1）；2）；3）假设，，那么．教材透析1．集合中的元素必须具有：确定性、互异性与无序性。确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合中元素的排列不是固定的；2．集合有三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．假设集合是个元素的集合，那么集合有个子集（其中个真子集，个非空真子集）．典例剖析【题型1】集合元素的根本特征【例1】已知集合，试求集合的所有子集.【解析】由题意可知是的正约数，所以可以是；相应的为，即.∴的所有子集为．【点评】此题主要考察集合的根底知识，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性三大特性，尤其是互异性在解题中应予以足够重视.【变式与拓展】1.已知集合，,,求的值．【解析】由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，.【题型2】集合的表示法17/17\n【例2】已知集合且,求参数的取值范围．【解析】由已知易求得当时,,由知无解；当时,,显然无解；当时,,由解得．综上知,参数的取值范围是.【点评】此题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【变式与拓展】2.(2022广东文)已知全集，那么正确表示集合和关系的韦恩（）图是【解析】由，得，那么，选B．题型3集合间的根本关系【例3】已知,集合.假设,那么的值是()A.5B.4C.25D.10【解析】，，且及集合中元素的互异性知,即,此时应有．而,从而在集合B中,．由,得由(2)(3)解得，代入(1)式知，也满足(1)式，【点评】此题主要考察集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.设集合，那么满足的集合B的个数是（）。A．1B．3C．4D．817/17\n【解析】，，那么集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个．应选择答案C．【点评】集合A是n个元素的集合，那么集合A有2n个子集、2n－1个真子集、2n－2个非空真子集．【变式与拓展】3.(2022山东理)集合,，假设,那么的值为()A.0B.1C.2D.4【解析】:∵,,∴∴,应选D.答案:D题型4空集的考察例4已知集合A=，B=，且, 那么实数m的取值范围是（） A. B. C. D.【解析】∵A=, 由得：①=Æ，那么，即；②≠Æ，那么且，即，知. 综上应选A.【点评】解答具有条件的试题时，不能忽略B=Æ的情形．空集是一个特殊的集合，在研究集合之间的关系与运算时必须注意．【变式与拓展】4.设集合.假设，求实数的取值范围.【解析】∵，又，所以或，或，或．（1）当时，.（2）当时，，且．（3）当时，，且．（4）当时，综上所述，实数的取值范围是.能力训练一、选择题1．给出6个关系式：（1），（2），（3），（4），（5），（6）．其中正确的个数是 （ C）17/17\nA．3B．4C．5 D．62．(2022山东文)集合,,假设，那么的值为(D)A．0B．1C．2D．43．已知集合且中至多有一个奇数，那么这样的集合 （ A ）A．6个B．5个C．4个D．2个4．（2022北京文）设集合，那么（A）A．B．C．D．5．（2022广东理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，那么阴影局部所示的集合的元素共有（B）A．3个B．2个C．1个D．无穷多个6.（2022全国Ⅰ）设，集合，那么（C）A．1B．C．2D．二、填空题7.集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},假设BA，那么a=．8.假设集合中有且仅有一个元素，那么的取值集合是．9.设集合,,那么集合=．10.（2022福建）设P是一个数集，且至少含有两个数，假设对任意a、b∈P，都有、、ab、（除数）那么称是一个数域，例如有理数集是数域，有以下命题：①数域必含有、两个数；②整数集是数域；③假设有理数集，那么数集必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是①④（把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题17/17\n11．记函数的定义域为，的定义域为B．(1)求集合；(2)假设,求实数的取值范围．【解析】(1)，．∴集合．(2)（a<1），∵,∴，∴不等式的解为，∴集合，∵，∴,∴．12．设，点，但，，求的值．【解析】∵点（2，1），∴①∵（1，0）E，（3，2）E，∴②③由①②得；类似地由①、③得，∴．又，∴=－1代入①、②得=－1．第二节集合的运算自主学习1．集合的根本运算（1）一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的交集；交集．（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合与的并集；并集．（3）一般地，如果一个集合包含了我们要研究问题中所涉及的所有元素，那么这个集合称为全集，记作．17/17\n（4）假设是一个集合，且，那么称为集合相对于集合的补集，记作．2．集合运算的简单性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），．教材透析求集合的并、交、补是集合间的根本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去提醒、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．典例剖析【题型1】集合的根本运算【例1】（2022浙江理）设，，，那么()A．B．C．D．【解析】对于，因此．【点评】本小题主要考察集合运算，集合间的交、补运算是高考中的常考内容，不等式型的补集注意等号，不要出错．【变式与拓展】17/17\n1.（2022全国卷Ⅰ理）设集合，，全集，那么集合中的元素共有（A）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（08北京理）已知全集，集合，，那么集合等于（C）A．B．C．D．【题型2】抽象集合的运算【例2】（2022全国Ⅰ）设为全集，是的三个非空子集，且，那么下面论断正确的选项是(C)A.B.C.D.S1S2S3【解析】方法一：特例法令，,，那么，检验知C正确.方法二：利用图很快得答案C.【点评】对抽象集合问题，可以用特例法将它具体化，也可用图使它直观化，不同的表示方法间可以相互转化；解题时，要善于将集合化成“最简”形式.【变式与拓展】3.（2022江西理）已知全集中有个元素，中有个元素．假设非空，那么的元素个数为（D）17/17\nA．B．C．D．4.假设三个集合、、满足，，那么有（A）A.B.C.D.【题型3】含参数问题【例3】已知集合，．⑴当时，求；⑵求使的实数的取值范围．【解析】（1）当时，，∴A．（2）∵，当时，要使，必须，此时；当时，，使B的不存在；当a＞时，要使，必须，此时．综上可知，使的实数的取值范围为.【例4】已知集合，，，，且，求实数的取值范围．【解析】依题意，集合,又，那么，，由知，(1)当时，,满足(2)当时，，满足(3)当时，不满足17/17\n∴实数的取值范围为．【点评】对于含参数的集合问题应注意对参数取值进展讨论，有时要特别注意这一特殊集合；解决此类集合问题的途径要重视两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用集合间的关系进展分类讨论.【变式与拓展】5.已知集合，.(1)假设，求实数的取值范围；(2)假设，求实数的取值范围；(3)假设，求实数的取值范围.答案：（1）实数的取值范围为[，2]；（2）实数的取值范围；（3）实数的取值为3.【题型4】集合语言的运用【例4】假设集合，假设，那么实数的取值范围是.【解析】在同一坐标系中分别作出的图像，并将图像进展左右平移，因，由图示得【点评】此题以集合语言为载体呈现题意，主要考察学生对各种表述方式进展转化的能力、以及运用“数形结合”的思想解决问题的能力.【变式与拓展】6.（2022湖南理）设集合，，，17/17\n（1）的取值范围是；（2）假设，且的最大值为9，那么的值是．7.设集合，,那么实数m的取值范围__________；提示：设这是开口向上的抛物线，因为其对称轴，由二次函数性质知命题又等价于.能力训练一、选择题1．（2022四川文）设集合，.那么（C）A.B.C.D.2.(广东2022届六校第二次联考)设集合，集合，那么以下结论正确的选项是(B)A．B.C.D.3.（惠州市2022届高三第三次调研）假设集合那么满足条件的实数的个数有（A）1个B.2个C.3个D.4个4.(2022湖北理)已知，是两个向量集合，那么(A)17/17\nA．B.C.D.5.(2022辽宁理）已知集合，，那么集合（ D）....6．已知集合、，假设不是的子集，那么以下命题中正确的选项是（ C）A.对任意的，都有B.对任意的，都有C.存在，满足，D.存在，满足，二、填空题7.（2022重庆理）假设，，那么．8.（2022天津文）设全集，假设，那么集合.【解析】9.(2022湖南理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.【解析】设两者都喜欢的人数为人，那么只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人..10．（2022年上海理）已知集合，，且，那么实数a的取值范围是.三、解答题17/17\n11.设全集,集合，，求、、、、.【解析】，∵，∴，∴.∴，，，∪.12.集合，，，求当a取什么实数时，和同时成立【解析】，由此得，∴由，∴，又，∴和都不是关于x的方程的解，而，即，∴是关于的方程的解，∴可得或当时，得，∴，这与不符合，所以(舍去)；当时，可以求得，符合，，∴单元测验一一、选择题1．(2022湖南文)已知，，，那么(B)www.jkzyw.comA．B.C．D.www.jkzyw.comwww.jkzyw.com17/17\n2．（2022北京文）假设集合，，那么集合等于（D）www.jkzyw.comA．B．C．D．w.com3．（2022安徽理）假设集合那么是(D)A．B．C．D．4．设全集，、B为的子集，假设，，（，那么下述结论正确的选项是（A）A．B．C．D．5.设全集，，，假设恒成立，那么实数最大值是（C）A．C．C．6.（2022江西）假设集合，，那么中元素的个数为(B)A．2B．4C．6D．97.假设那么，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（A）17/17\nA．15B．16C．28D．258．设全集是实数集，与都是的子集（如右图所示），那么阴影局部所表示的集合为（A）A．B．C．D．9.已知集合，那么的关系最恰当的一个是（C）A.B.C.D.10.已知，，假设对于所有的，均有，那么的取值范围是（A）A．[]B.（）C.（）D.[]【解析】，相当于点在椭圆上或它的内部，，.应选A.二、填空题11.已知集合，那么（填、）．12.已知集合,那么=．13.（2022重庆文）假设是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，那么．14.（2022北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且17/17\n，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个..w【解析】符合题意的集合是：共6个.故应填6.三、解答题15.设集合，假设，求．【解析】由，可得或，解得或．当时，，中元素违背了互异性，舍去；当时，，满足题意，故；当时，，此时与矛盾，故舍去．综上所述．16.已知全集，，，求，，，，并比较它们的关系.【解析】由，那么.由，那么由，，那么，.由计算结果可以知道，，.17/17\n另解：作出图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.17.设集合，.（1）求，；（2）假设，求实数的值；（3）假设，那么有几个真子集？集合满足条件，写出所有可能的集合.【解析】（1）.当时，，那么，；当时，，那么，；当且时，，那么，.（2）假设，由上易知或.（3）当时，，，其真子集有7个.，那么满足的集合有：、．18.设集合，，假设，求实数的值．【解析】先化简集合.由，那么，可知集合为，或为，或，或.(1)假设，那么，解得；(2)假设，代入得得或，当时，，符合题意；当时，，也符合题意．(3)假设，代入得得或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，，不符合题意．综上可得，或．www.ks5u.com17/17
