第一章 集合与常用逻辑用语 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.假设集合M＝{x∈R|－3＜x＜1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，那么M∩N＝( )A.{0} B.{－1,0}C.{－1,0,1}D.{－2，－1,0,1,2}解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}.答案：B2.(2022·全国卷Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，那么∁U(M∪N)＝( )A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}解析：M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(M∪N)＝{2,4,8}.答案：C3.命题“假设a＞b，那么a－1＞b－1”的否命题是( )A.假设a＞b，那么a－1≤b－1 B.假设a≥b，那么a－1＜b－1C.假设a≤b，那么a－1≤b－1 D.假设a＜b，那么a－1＜b－1解析：即命题“假设p，那么q”的否命题是“假设p，那么q”.答案：C4.(2022·浙江高考)已知a，b是实数，那么“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，假设a＋b>0且ab>0，那么a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立.答案：C5.(文)设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，那么图中阴影局部表示的集合是( )A.{x|－2≤x＜1} B.{x|1＜x≤2}C.{x|－2≤x≤2} D.{x|x＜2}解析：阴影局部表示的集合为N∩∁UM＝{x|1＜x≤2}.答案：B(理)设全集U＝R，集合A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，那么图中阴影局部表示的集合为( )A.{x|x≥1} B.{x|x≤1}C.{x|0＜x≤1} D.{x|1≤x＜2}7/7\n解析：由2x(x－2)＜1得x(x－2)＜0，故集合A＝{x|0＜x＜2}，由1－x＞0得x＜1，故B＝{x|x＜1}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}，所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x＜2}，即图中阴影局部表示的集合为{x|1≤x＜2}.答案：D6.以下说法错误的选项是( )A.命题：“已知f(x)是R上的增函数，假设a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题B.“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件C.假设p且q为假命题，那么p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，那么p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”解析：A中∵a＋b≥0，∴a≥－b.又函数f(x)是R上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，①同理可得，f(b)≥f(－a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真.假设p且q为假命题，那么p、q中至少有一个是假命题，所以C错误.答案：C7.同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}；②假设a∈M，那么6－a∈M的非空集合M有( )A.16个B.15个C.7个D.6个解析：∵1＋5＝2＋4＝3＋3＝6，∴集合M可能为单元素集：{3}；二元素集：{1,5}，{2,4}；三元素集：{1,3,5}，{2,3，4}；四元素集：{1,2,4,5}；五元素集：{1,2,3,4,5}.共7个.答案：C8.(2022·温州模拟)以下命题中，真命题是( )A.∃x∈R，使得sinx＋cosx＝2B.∀x∈(0，π)，有sinx＞cosxC.∃x∈R，使得x2＋x＝－2D.∀x∈(0，＋∞)，有ex＞1＋x解析：∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，故A错；当0＜x＜时，cosx＞sinx，故B错；∵方程x2＋x＋2＝0无解，故C错误；7/7\n令f(x)＝ex－x－1，那么f′(x)＝ex－1又∵x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0，即ex＞1＋x，故D正确.答案：D9.(文)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≥0}，那么A×B等于( )A.(2，＋∞)B.∪∪(2，＋∞)解析：由题意知，A∪B＝，所以A×B＝(2，＋∞).答案：A(理)定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，设M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x2－4x＋3＜0}，那么M⊗N表示的集合是( )A.(－∞，－2]∪∪∪(3，＋∞)解析：M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M⊗N＝(－2，1]∪上的偶函数，且在上是增函数，θ∈(，)，那么f(sinθ)＞f(cosθ)；③在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；④假设函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，那么f(1)＋f′(1)＝3.其中所有正确命题的序号是 .解析：①存在α＝＞β＝，使tan＝tan＜tan，①正确；②f(x)是定义在上的偶函数，且在上是增函数，那么在上是减函数，θ∈(，),1＞sinθ＞cosθ＞0，∴f(sinθ)＜f(cosθ)，②错误；③在△ABC中，A＞，那么0＜sinA≤1.sinA＞，那么＞A＞，所以“A＞”是“sinA＞”的既必要不充分条件，③错误；④函数y＝f(x)在点M(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝，M(1，f(1))是曲线上的点也是切线上的点，x＝1时，f(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3，④正确.答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)7/7\n17.(本小题总分值12分)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，且A∩B＝{9}，求实数a的值.解：因为A∩B＝{9}，所以9∈A.假设2a－1＝9，那么a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾(舍去).假设a2＝9，那么a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾(舍去)；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意.综上所述，a＝－3.18.(本小题总分值12分)判断以下命题的真假.(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.解：(1)真命题，∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意.(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3符合题意.19.(本小题总分值12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}.(1)假设A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)假设A∪B＝A，求实数a的取值范围.解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}.(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3；(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3).∵A∪B＝A，∴B⊆A，7/7\n①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，那么由根与系数的关系得矛盾；综上，a的取值范围是a≤－3.20.(本小题总分值12分)(2022·盐城模拟)命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p推不出q而∁RB＝{x|－4≤x＜－2}，∁RA＝{x|x≤3a，或x≥a}所以{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a}，或即－≤a＜0或a≤－4.21.(本小题总分值12分)设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}.(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)假设(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围.解：(1)∵A＝{x|≤x≤3}，当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}.(2)∁RA＝{x|x<或x>3}，7/7\n当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－<x<}，要使B⊆∁RA，需≤，解得－≤a<0.综上可得，实数a的取值范围是a≥－.22.(文)(本小题总分值14分)已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.解：由题设知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝＝.a∈时，的最小值为3，要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.，综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，即解得实数m的取值范围是(4,8].(理)(本小题总分值14分)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式＜1＋ax对一切正实数均成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.解：命题p为真命题⇔函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，即ax2－x＋a＞0对任意实数x均成立，得a＝0时，－x＞0的解集为R，不可能；或a＜0时，ax2－x＋解集显然不为R，7/7\n所以命题p为真命题⇔a＞2.命题q为真命题⇔－1＜ax对一切正实数均成立，即a＞＝对一切正实数x均成立.由于x＞0，所以＞1.所以＋1＞2，所以＜1.所以，命题q为真命题⇔a≥1.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p、q一真一假.假设p为真命题，q为假命题，无解；假设p为假命题，q为真命题，那么1≤a≤2.∴a的取值范围是.7/7
