12＋4分项练12 圆锥曲线1．(2022·大连模拟)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是( )A.B.C.D.答案 C解析 根据椭圆对称性得△AFB的周长为|AF|＋|AF′|＋|AB|＝2a＋|AB|＝4＋|AB|(F′为右焦点)，由y＝kx，＋y2＝1，得x＝，∴|AB|＝·2|xA|＝4＝4∈(2,4)(k≠0)，即△AFB周长的取值范围是＝.2．(2022·烟台模拟)已知双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x10\n答案 A解析 由双曲线－y2＝1(a>0)的两焦点之间的距离为4，可得2c＝4，所以c＝2，又由c2＝a2＋b2，即a2＋1＝22，解得a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.3．(2022·湖南省岳阳市第一中学模拟)设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )A．2B.C.D．3答案 A解析 由①得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故①无解，所以直线3x＋4y＋12＝0与抛物线是相离的．由d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，从而d1＋1＋d2的最小值为焦点到直线3x＋4y＋12＝0的距离＝3，故d1＋d2的最小值为2.4．(2022·重庆模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M，N两点，与抛物线的准线交于P，Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是( )A．16B．12C．4D．3答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ为矩形，可得|PQ|＝|MN|，从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离是相等的，所以M点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M为x轴上方的交点，从而求得M(3,2)，N(3，－2)，所以|MN|＝4，＝4，从而求得四边形MNPQ的面积为S＝4×4＝16.5．(2022·重庆模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为( )10\nA.B.C.D.答案 C解析 根据题意，有|AM|＝，＝，因为AF1与圆M相切，所以∠F1AM＝，所以由勾股定理可得＝c，所以cos∠F1MA＝＝，所以cos∠AMF2＝－，且|MF2|＝，由余弦定理可求得＝＝c，所以e＝＝＝.6．(2022·重庆调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2等于( )A．2B．3C.D.答案 D解析 以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，双曲线经过第一象限的渐近线方程为y＝x，联立方程求得M(a，b)，因为＝2b<2c，所以M(a，b)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，所以－＝1，所以－＝1，10\n化简得e4－e2－1＝0，由求根公式得e2＝(负值舍去)．7．已知点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆2＋(y－4)2＝1上，则|PQ|的最小值为( )A.－1B.－1C．2－1D.－1答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P(m2，m)．圆心与抛物线上的点的距离的平方d2＝2＋(m－4)2＝m4＋2m2－8m＋.令f(m)＝m4＋2m2－8m＋，则f′(m)＝4(m－1)(m2＋m＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f(1)＝，由几何关系可得|PQ|的最小值为－1＝－1.8．(2022·昆明模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆M：2＋y2＝p2，直线l：y＝k(k≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A1，A2，A3，A4四点，则等于( )A.B.C．pD.答案 B解析 圆M：2＋y2＝p2的圆心为抛物线的焦点F，半径为p.直线l：y＝k过抛物线的焦点F.设A2(x1，y1)，A4(x2，y2)．不妨设k<0，则x1<，x2>.|A1A2|＝|A1F|－|A2F|＝p－＝－x1，10\n|A3A4|＝|A4F|－|A3F|＝－p＝x2－.由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以＝＝＝＝＝.9．(2022·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若＝3，且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A．4B．5C.D．6答案 D解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l′：x＝－，如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AP⊥l′，BQ⊥l′，垂足为P，Q，过点B作BD⊥AP交AP于点D，则|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，∵|AF|＝3|BF|＝|AB|，∴|AP|－|BQ|＝|AD|10\n＝|AF|－|BF|＝|AB|，在Rt△ABD中，由|AD|＝|AB|，可得∠BAD＝60°，∵AP∥x轴，∴∠BAD＝∠AFx＝60°，∴kAB＝tan60°＝，直线l的方程为y＝，设M点坐标为(xM，yM)，由可得xM＝p－，yM＝，代入抛物线的方程化简可得3p2－4p－84＝0，解得p＝6(负值舍去)，该抛物线的焦点到准线的距离为6.10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.B.C．1D.答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，半焦距为c，P为第一象限内的公共点，则解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，所以4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，所以4c2＝(2－)a＋(2＋)a，所以4＝＋≥2＝，所以e1e2≥，故选B.11．(2022·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB10\n＝120°，则m的取值范围是( )A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，则0<m<3，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1，可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0<≤，结合0<m<3解得0<m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.方法二 当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得0<m≤1.当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.10\n12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0)．过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|＝b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A．(1，)B．(1,2)C．(，＋∞)D．(2，＋∞)答案 C解析 |F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)，设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I，则|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|.由双曲线的定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|，又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c，故|F1H|＝c＋a，|F2H|＝c－a，所以H(a,0)，即a＝2.注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时，|AB|有最小值＝b2；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时，|AB|有最小值2a，于是，由题意得b2>2a＝4，b>2，c＝>2，所以双曲线的离心率e＝>.故选C.13．(2022·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点，且C的一个焦点坐标为(2,0)，则C的标准方程为________．答案 ＋y2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)，则2a＝＋＝＝2，所以a＝，因为c＝2，所以b＝＝1，10\n从而得到椭圆的标准方程为＋y2＝1.14．在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆x2＋y2＝1的交点N为点M的“中心投影点”．(1)点M(1，)的“中心投影点”为________；(2)曲线x2－＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1) (2)解析 (1)|OM|＝＝2，|ON|＝1，所以＝，则N点坐标为.(2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为，因此弧长为2×π×1＝.15．已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的半焦距的取值范围为____________．答案 解析 由|F1F2|＝2|OP|可得△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，tan∠PF2F1≥4，即|PF1|≥4|PF2|，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，又|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF2|≤a，由(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2化为(|PF2|＋a)2＝2c2－a2≤2，可得c≤，又双曲线中c>a＝1，所以双曲线C的半焦距的取值范围为.16．(2022·威海模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为________．10\n答案 解析 如图所示，分别过P，Q作抛物线准线的垂线，垂足为A，B，设|PF|＝2a，|QF|＝2b，由抛物线定义，得|PF|＝|PA|，|QF|＝|QB|，在梯形ABQP中，2|MN|＝|PA|＋|QB|＝2a＋2b，∴|MN|＝a＋b.若PQ过焦点F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝2a＋2b，又|MN|＝a＋b，且|MN|＝|PQ|，∴2a＋2b＝a＋b，∴a＋b＝0，显然不成立，∴PQ不过焦点F.∵|MN|＝|PQ|，∴|PQ|＝a＋b，设∠PFQ＝θ，由余弦定理得，(a＋b)2＝4a2＋4b2－8abcosθ，∴a2＋b2＋2ab＝4a2＋4b2－8abcosθ，∴cosθ＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤，∴∠PFQ的最大值为.10
