12＋4分项练11 圆锥曲线1．(2022·大连模拟)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则＋的值是( )A．2B．2C．4D．4答案 C解析 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，因为|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.2．(2022·洛阳统考)已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A.B．3C．5D．4答案 A解析 因为抛物线y2＝12x的焦点坐标为，依题意得4＋b2＝9，所以b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，所以其渐近线方程为y＝±x，所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为10\n＝.3．(2022·唐山模拟)已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆2＋y2＝1上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A.B．3C.＋1D．2－1答案 D解析 设点P的坐标为，由圆的方程2＋y2＝1，可得圆心坐标A，∴|PA|2＝2＋m2＝2＋12≥12，∴|PA|≥2，∵Q是圆2＋y2＝1上任意一点，∴|PQ|的最小值为2－1.4．(2022·重庆模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M，N两点，与抛物线的准线交于P，Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是( )A．16B．12C．4D．3答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ为矩形，可得|PQ|＝|MN|，从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离是相等的，所以M点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M为x轴上方的交点，从而求得M(3,2)，N(3，－2)，所以|MN|＝4，＝4，从而求得四边形MNPQ的面积为S＝4×4＝16.5．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆交渐近线ay＝bx于点P(P在第一象限)，PF1交双曲线左支于Q，若Q是线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.＋1D.－1答案 C解析 联立直线方程与圆的方程结合c2＝a2＋b2，且点P位于第一象限可得P(a，b)，10\n双曲线的左焦点为F1(－c,0)，则PF1的中点为Q，点Q在双曲线上，则－＝1，整理可得c2－2ac－4a2＝0，即e2－2e－4＝0，解得e＝1±，又双曲线的离心率e>1，故e＝＋1.6．(2022·威海模拟)已知双曲线C：－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，F1F2为半径的圆交C的右支于P，Q两点，若△F1PQ的一个内角为60°，则C的离心率为( )A.B.＋1C.D.答案 C解析 由对称性可知△PQF1为等腰三角形，若△PQF1的一个内角为60°，则△PQF1是等边三角形，∴△F1PQ的三个内角都为60°，∴∠PF2Q＝120°，设PQ交x轴于点A，则|AF2|＝|F2P|＝c，|PA|＝c，不妨设P在第一象限，则P(2c，c)，代入双曲线方程可得－＝1.∴－＝1.化简得4c4－8a2c2＋a4＝0，即4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝或(舍)，∴e＝(负值舍去)．7．已知点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆2＋(y－4)2＝1上，则|PQ|的最小值为( )10\nA.－1B.－1C．2－1D.－1答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P(m2，m)．圆心与抛物线上的点的距离的平方d2＝2＋(m－4)2＝m4＋2m2－8m＋.令f(m)＝m4＋2m2－8m＋，则f′(m)＝4(m－1)(m2＋m＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f(1)＝，由几何关系可得|PQ|的最小值为－1＝－1.8．(2022·昆明模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆M：2＋y2＝p2，直线l：y＝k(k≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A1，A2，A3，A4四点，则等于( )A.B.C．pD.答案 B解析 圆M：2＋y2＝p2的圆心为抛物线的焦点F，半径为p.直线l：y＝k过抛物线的焦点F.设A2(x1，y1)，A4(x2，y2)．不妨设k<0，则x1<，x2>.|A1A2|＝|A1F|－|A2F|＝p－＝－x1，|A3A4|＝|A4F|－|A3F|＝－p＝x2－.10\n由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以＝＝＝＝＝.9．(2022·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若＝3，且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A．4B．5C.D．6答案 D解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l′：x＝－，如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AP⊥l′，BQ⊥l′，垂足为P，Q，过点B作BD⊥AP交AP于点D，则|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，∵|AF|＝3|BF|＝|AB|，∴|AP|－|BQ|＝|AD|＝|AF|－|BF|＝|AB|，10\n在Rt△ABD中，由|AD|＝|AB|，可得∠BAD＝60°，∵AP∥x轴，∴∠BAD＝∠AFx＝60°，∴kAB＝tan60°＝，直线l的方程为y＝，设M点坐标为(xM，yM)，由可得xM＝p－，yM＝，代入抛物线的方程化简可得3p2－4p－84＝0，解得p＝6(负值舍去)，该抛物线的焦点到准线的距离为6.10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.B.C．1D.答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，半焦距为c，P为第一象限内的公共点，则解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，所以4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，所以4c2＝(2－)a＋(2＋)a，所以4＝＋≥2＝，所以e1e2≥，故选B.11．(2022·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)10\nC．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，则0<m<3，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1，可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0<≤，结合0<m<3解得0<m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.方法二 当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得0<m≤1.当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P10\n为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0)．过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|＝b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A．(1，)B．(1,2)C．(，＋∞)D．(2，＋∞)答案 C解析 |F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)，设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I，则|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|.由双曲线的定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|，又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c，故|F1H|＝c＋a，|F2H|＝c－a，所以H(a,0)，即a＝2.注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时，|AB|有最小值＝b2；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时，|AB|有最小值2a，于是，由题意得b2>2a＝4，b>2，c＝>2，所以双曲线的离心率e＝>.故选C.13．(2022·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点，且C的一个焦点坐标为(2,0)，则C的标准方程为________．答案 ＋y2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)，则2a＝＋＝＝2，所以a＝，因为c＝2，所以b＝＝1，从而得到椭圆的标准方程为＋y2＝1.10\n14．在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆x2＋y2＝1的交点N为点M的“中心投影点”．(1)点M(1，)的“中心投影点”为________；(2)曲线x2－＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1) (2)解析 (1)|OM|＝＝2，|ON|＝1，所以＝，则N点坐标为.(2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为，因此弧长为2×π×1＝.15．已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的半焦距的取值范围为____________．答案 解析 由|F1F2|＝2|OP|可得△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，tan∠PF2F1≥4，即|PF1|≥4|PF2|，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，又|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF2|≤a，由(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2化为(|PF2|＋a)2＝2c2－a2≤2，可得c≤，又双曲线中c>a＝1，所以双曲线C的半焦距的取值范围为.16．(2022·威海模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若|MN|＝|PQ|，则∠PFQ的最大值为________．答案 解析 如图所示，分别过P，Q作抛物线准线的垂线，垂足为A，B，10\n设|PF|＝2a，|QF|＝2b，由抛物线定义，得|PF|＝|PA|，|QF|＝|QB|，在梯形ABQP中，2|MN|＝|PA|＋|QB|＝2a＋2b，∴|MN|＝a＋b.若PQ过焦点F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝2a＋2b，又|MN|＝a＋b，且|MN|＝|PQ|，∴2a＋2b＝a＋b，∴a＋b＝0，显然不成立，∴PQ不过焦点F.∵|MN|＝|PQ|，∴|PQ|＝a＋b，设∠PFQ＝θ，由余弦定理得，(a＋b)2＝4a2＋4b2－8abcosθ，∴a2＋b2＋2ab＝4a2＋4b2－8abcosθ，∴cosθ＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤，∴∠PFQ的最大值为.10
