第4讲 力与物体的曲线运动(二) ——电场和磁场中的曲线运动专题提升训练一、选择题(1～6题为单项选择题，7～9题为多项选择题)1.如图1所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出，现在使电子的入射速度变为原来的2倍，而电子仍从原来位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板间的距离应变为原来的( )图1A.2倍B.4倍C.倍D.倍解析 第一次d＝·，第二次d′＝·，两式相比可得d′＝，所以选项C正确。答案 C2.用固定于O点的丝线悬挂一个质量为m、带电荷量为＋q(q＞0)的小球，以过O点的竖直线Ox为界，左侧有匀强磁场，右侧有匀强电场，方向如图2所示。将带电小球从最低位置c拉至a点由静止释放，让小球在ab间摆动，不计空气阻力，下列说法正确的是( )图2A.a、b两位置高度相等B.小球经过Ox右侧电场中同一位置时丝线张力相等C.小球经过Ox左侧磁场中同一位置时丝线张力相等D.小球从a到c与从c到b所用时间相等解析 带电小球在Ox右侧受到的重力和电场力均为恒力，方向相同，“等效重力”为G′＝mg＋qE，电势能与机械能之和不变；带电小球在Ox左侧受到重力和洛伦兹力，洛伦兹力方向总垂直于速度方向，不做功，机械能守恒。即左侧机械能等于右侧“电10\n势能＋机械能”，因此b点位置比a点高，A选项错误；小球经过Ox右侧电场中同一位置时速度大小相等，丝线张力T与“等效重力”沿丝线方向的分力F2的合力提供向心力，同一位置F2相等，因此T＝m＋F2相等，B选项正确；小球经过Ox左侧磁场中同一位置时速度大小相等，但往返运动速度方向相反，洛伦兹力方向相反，所以丝线张力不相等，C选项错误；在同一高度，合力沿弧线的切向分量右侧比左侧大，由于b比a的位置高，因此小球从a到c比从c到b所用时间短，D选项错误。答案 B3.(2022·福州市高中毕业班质量检测)两个质量相同，所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图3，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )图3A.a粒子带正电，b粒子带负电B.b粒子动能较大C.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大D.b粒子在磁场中运动时间较长解析 由左手定则可知，a粒子带负电、b粒子带正电，A项错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由轨迹可以判断，a粒子轨迹半径小于b粒子轨迹半径，由半径公式R＝可知，a粒子速度较小，而两粒子质量相等，故b粒子动能较大，B项正确；由洛伦兹力F＝qvB可知，b粒子受洛伦兹力较大，C项错误；由周期公式T＝可知，两粒子在磁场中运动周期相同，粒子在磁场中运动时间t＝T，由于粒子轨迹所对圆心角θ等于其偏向角，故粒子a的轨迹所对圆心角较大，故a粒子在磁场中运动时间较长，D项错。答案 B4.如图4所示，带电的平行金属板电容器水平放置，质量相同、重力不计的带电微粒A、B以平行于极板的相同初速度从不同位置射入电场，结果打在极板上的同一点P。不计两微粒之间的库仑力，下列说法正确的是( )图4A.在电场中微粒A运动的时间比B长B.在电场中微粒A、B运动的时间相同10\nC.微粒A所带的电荷量比B少D.静电力对微粒A做的功比B少解析 带电微粒进入电场中，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则微粒在电场中的运动时间为t＝，由此可知两微粒在电场中的运动时间相同，选项B正确，A错误；竖直方向做匀加速直线运动，y＝at2，由于t相同，yA＞yB，可得aA＞aB，即＞，则qA＞qB，选项C错误；由W＝qU，可知静电力对微粒A做的功比B多，选项D错误。答案 B5.在xOy坐标系的y轴右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴上的点A(L，0)同时以相同速率v沿不同方向发出a、b两个相同的带电粒子(粒子重力不计)，其中a沿平行于＋y方向发射，经磁场偏转后，均先后到达y轴上的点B(0，L)，则两个粒子到达B点的时间差为( )图5A.B.C.D.解析 作出a、b的运动轨迹如图所示，设a粒子运动的轨迹半径为R，则由几何关系得R2＝(R一L)2＋(L)2，解得R＝2L，a粒子的偏转角满足sinθ＝＝，所以θ＝，同理，由图可得b粒子的偏转角β＝π，a粒子在磁场中运动时间ta＝＝＝，b粒子在磁场中运动的时间tb＝＝＝，所以，它们到达B点的时间差Δt＝tb－ta＝－＝，选项D正确。答案 D6.[2022·湖北省七市(州)高三联合考试]如图6所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )10\n图6A.B.C.D.解析 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则a＝Rsin30°，即R＝2a。设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运动的时间为t＝T，即α越大，粒子在磁场中运动时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角αm为120°，即最长运动时间为，而T＝＝，所以粒子在磁场中运动的最长时间为，C正确。答案 C7.如图7所示是比荷相同的两粒子从O点垂直进入匀强磁场区域(有直线边界)的运动轨迹，下列说法正确的是( )图7A.a带正电，b带负电B.a所带的电荷量比b的小C.a运动的速率比b的小D.a运动的时间比b的短解析 根据左手定则可知，a带正电，b带负电，选项A正确；比荷相同的a、b两粒子，由于质量无法确定，故电荷量无法比较，选项B错误；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m10\n，解得R＝，因为两粒子的比荷相同，故R越大，v越大，选项C正确；因为T＝，又相同，所以T相同，a、b都运动了半个周期，故a、b运动的时间相同，选项D错误。答案 AC8.(2022·杭州市第二次教学质检)如图8所示，边长为l的正方形区域abcd内存在着沿ad方向的匀强电场。一粒子源不断地从a处沿ab方向向该区域内发射相同的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v0，经电场作用后从dc边的中点p射出。现撤去电场，在该区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B(图中未画出)，粒子仍从p处射出。带电粒子的重力和粒子之间的相互作用均可忽略，则( )图8A.所加磁场的方向应垂直于纸面向里B.匀强电场的电场强度E＝C.匀强磁场的磁感应强度B＝D.电场强度E与磁感应强度B的比值为5v0解析 根据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，根据左手定则可知，磁场方向应垂直于纸面向外，选项A错误；粒子在电场中运动时，沿ad方向的位移为l，沿ab方向的位移为，则有×()2＝l，解得匀强电场的电场强度为E＝，选项B正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R，根据牛顿第二定律得qvB＝m，解得R＝，根据如图所示的几何关系可得(l－R)2＋()2＝R2，解得轨道半径为R＝l，则磁场的磁感应强度为B＝，选项C错误；电场强度E与磁感应强度B的比值为＝5v0，选项D正确。答案 BD9.(2022·湖南长沙一中、攸县一中、浏阳一中联考)真空中的某装置如图9所示，现有质子、氘核和α粒子都从O点由静止释放，经过相同加速电场和偏转电场，射出后都打在同一个与OO10\n′垂直的荧光屏上，使荧光屏上出现亮点(已知质子、氘核和α粒子质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，重力不计)。下列说法中正确的是( )图9A.三种粒子在偏转电场中运动时间之比为2∶1∶1B.三种粒子出偏转电场时的速度相同C.在荧光屏上将只出现1个亮点D.偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶1∶2解析 带电粒子经过加速电场时根据电场力做功有qU1＝mv，进入偏转电场后做类平抛运动，水平方向做匀速直线则有运动时间t＝＝l，代入三种粒子的电荷量和质量之比，可得t1∶t2∶t3＝1∶∶，选项A错误；粒子在偏转电场中竖直方向上做匀加速直线运动，a＝，偏转位移y＝at2＝＝＝，偏转电场对粒子做功W＝y＝，所以有W1∶W2∶W3＝1∶1∶2，选项D正确；粒子出偏转电场时，假设速度与水平方向夹角方向为θ，则有tanθ＝＝＝＝，可见速度方向与电荷量及质量均无关，所以速度方向相同，所以它们将打在荧光屏上同一点，选项C正确；出偏转电场的速度v＝＝/cosθ，由于θ相同可得v1∶v2∶v3＝∶1∶1，选项B错误。答案 CD二、非选择题10.如图10所示，直角坐标系xOy的y轴右侧有一宽为d的无限长磁场，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向外，y轴左侧有一个半径也为d的有界圆形磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，圆心O1在x轴上，OO1＝2d，一个带正电粒子以初速度v由A点沿AO1方向(与水平方向成60°角)射入圆形磁场并恰好从O点进入右侧磁场，从右边界MN上C点(没画出)穿出时与水平方向成30°角，不计粒子重力，求：10\n图10(1)粒子的比荷；(2)右侧磁场的磁感应强度；(3)粒子从A到C的运动时间。解析 (1)粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，在圆形磁场中有Bqv＝m由图知r＝dtan60°＝d联立得＝。(2)在y轴右侧磁场中B′qv＝m由图知R＝2d联立并代入比荷值得B′＝B。(3)粒子在圆形磁场中的运动时间t1＝·＝粒子在两磁场间运动时间t2＝粒子在y轴右侧磁场中运动时间t3＝·＝所以粒子从A到C的运动时间为t＝t1＋t2＋t3＝。答案 (1) (2)B (3)11.如图11所示，在直角坐标系的原点O处有放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右边有一很薄的挡板，挡板的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形。已知带电粒子的质量为m，带电荷量为q，速度为v，MN的长度为L，不计粒子重力。图11(1)若在y轴右侧加一平行于x轴的匀强电场，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到挡板MN上，则电场强度E0的最小值为多大？在电场强度E0取最小值时，打到板上的粒子动能为多大？10\n(2)若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使整个挡板右侧都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少(用m、v、q、L表示)？若满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边？解析 (1)由题意知，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打在MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子做类平抛运动，且落在M或N点，则MO′＝L＝vt①a＝②OO′＝L＝at2③联立①②③式得E0＝④由动能定理知qE0×L＝Ek－mv2⑤联立④⑤式得Ek＝mv2⑥(2)由题意知，要使整个挡板右侧都有粒子打到，画出粒子的运动轨迹如图甲所示，分析知轨迹直径的最小值为MN板的长度L，则R0＝L＝⑦甲得B0＝⑧放射源O发射出的粒子中，打在MN板左侧的粒子的临界轨迹如图乙所示。乙因为OM＝ON，且OM⊥ON所以OO1⊥OO2则v1⊥v210\n故放射源O放射出的所有粒子中只有打在MN板的左侧。答案 (1) mv2 (2) 12.如图12所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为R＝0.4m，轨道最高点A与圆心O等高。有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨道B点正下方、距B点H＝1.5m。圆弧轨道和斜面均处于场强E＝100N/C、竖直向下的匀强电场中。现将一个质量为m＝0.02kg、带电荷量为q＝＋2×10－3C的带电小球从A点静止释放，小球通过B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个不带电的以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇。若物块与斜面间动摩擦因数μ＝，空气阻力不计，g取10m/s2，小球和物块都可视为质点。求：图12(1)小球经过B点时对轨道的压力FNB；(2)B、D两点间的电势差UBD；(3)物块上滑初速度v0满足的条件。解析 (1)设小球到达B点的速度为vB，轨道对小球的支持力为FNB′，由动能定理和牛顿第二定律有：mgR＋qER＝mv－0①FNB′－(mg＋qE)＝m②由牛顿第三定律FNB′＝FNB③联立①②③得：FNB＝1.2N，方向竖直向下。④(2)设小球由B点到D点的运动时间为t，加速度为a，下落高度为h有：＝tanθ⑤Eq＋mg＝ma⑥h＝at2⑦UBD＝Eh⑧联立①⑤⑥⑦⑧得：UBD＝120V。⑨(3)小球与物块的运动示意图如图所示，设C、D间的距离为x10\n，由几何关系有：x＝⑩设物块上滑时加速度为a′，由牛顿第二定律有：mgsinθ＋μmgcosθ＝ma′⑪根据题意，要使物块与小球相遇，有：≥x⑫联立⑩⑪⑫得：v0≥m/s。答案 (1)1.2N 竖直向下 (2)120V (3)v0≥m/s10
