【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题7解三角形一、选择题1．(文)(2022·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )A. B.C.D.[答案] B[解析] 由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.[方法点拨] 解三角形的常见类型：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的讨论．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.(理)(2022·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为( )A. B.C．2D．2[答案] A[解析] 由已知得：cosA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴bc＝3，12\n又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝，选A.2．(2022·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.3．(文)若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案] B[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．(理)(2022·合肥第一次质检)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为( )A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形[答案] B[解析] 依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A12\n)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形，故选B.[易错分析] 本题易犯的主要错误是不能对所给恒等式进行有效化简、变形，由于公式应用错误或者化简过程的盲目性导致化简过程无效，这是很多考生在此类问题中常犯的错误．事实上，含有边和角的恒等式，一般方法是实施边和角的统一，如果边化角后无法运算，则可以尝试角化边．反之，如果角化边较繁，则可以尝试边化角，平时训练时就要注意归纳小结．[方法点拨] 判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手．4．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )A.B.C.或D.或[答案] D[解析] 由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.(理)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为( )A.B．－C.D．－[答案] A[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝.12\n[方法点拨] 给出边角关系的一个恒等式时，一般从恒等式入手化边为角或化角为边，再结合三角公式进行恒等变形，注意不要轻易对等式两边约去同一个因式．5．(文)(2022·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )A．3B.C.D．3[答案] C[解析] 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.(理)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，由正弦定理，＝，∴sinA＝＝＝.6．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为( )A．x≤yB．x<yC．x>yD．x≥y[答案] C[解析] y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，12\n∴y－x<0，∴y<x.7．(2022·昆明市质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为，且a2＋b2＝2ab，则C＝( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 由已知得：S△ABC＝absinC＝×c×，∴sinC＝，又由余弦定理得：cosC＝＝＝－＝－sinC，即sinC＋cosC＝，∴sin＝，∴sin＝1，C＋＝，C＝.8．(文)(2022·郑州市质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )A.B.C.D.或[答案] D[解析] 由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝，则B＝，b＝＝，∴S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，则sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝absinC＝×1×3×＝，选D.(理)(2022·衡水中学三调)已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于( )A.B.12\nC.D.[答案] A[解析] 根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.二、填空题9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案] 15[解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.[方法点拨] 有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．10．(文)(2022·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．[答案] 2[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝×2×2＝2.(理)(2022·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案] －[解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，12\n又∵b－c＝a，∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.11．(2022·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则·的值为________．[答案] [解析] 利用余弦定理求出AC的长度，再利用面积公式求出BD，最后利用数量积的定义求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面积公式可得×2×3×＝×BD，解得BD＝.所以·＝·(＋)＝||2＝.[方法点拨] 解答三角函数与平面向量交汇的题目，先运用向量的有关知识(平行、垂直、数量积的坐标表示等)脱去向量外衣再运用三角函数知识解决．或先利用三角函数或解三角形的有关知识求出需要的量(边的长度、角的大小)再进行向量运算．三、解答题12．(文)(2022·新课标Ⅰ文，17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．[分析] (1)本小题可先利用正弦定理，根据题设得出三角形的三条边长之间的关系，再利用余弦定理求出cosB；(2)本小题中已知角B为直角，利用勾股定理列出方程，再结合(Ⅰ)中a、c的关系式求出边长c，即可求出△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.12\n(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面积为S△ABC＝ac＝1.(理)(2022·山西太原市一模)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．[解析] (1)∵c＝2，C＝，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，∴ab＝4，联立解得a＝2，b＝2；(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，①当cosA＝0时，则A＝，②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立解得a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝，综上所述，A＝或A＝.13．(文)(2022·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.(1)求a和sinC的值；(2)求cos的值．[分析] 考查1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换．(1)由面积公式可得bc的值，结合b－c＝2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sinC的值；(2)直接展开求值．[解析] (1)在△ABC中，由cosA＝－，12\n得sinA＝，由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由＝，得sinC＝.(2)cos＝cos2Acos－sin2Asin＝(2cos2A－1)－×2sinAcosA＝.(理)(2022·安徽理，16)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin(A＋)的值．[解析] (1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正、余弦定理得a＝2b·，因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin＝×＋(－)×＝.14．(文)(2022·陕西理，16)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.[解析] (1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，12\n由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．∴cosB的最小值为.(理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝，求的值．[解析] (1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝.15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．[分析] 条件式a2tanB＝b2tanA是边a、b与角A、B的关系，可用正弦定理化边为角，将“切化弦”，然后，通过三角变形探究A与B之间的关系判断形状；也可以应用正弦定理和余弦定理化角为边，再通过代数变形探寻边之间的关系后判断形状．[解析] 解法1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2，∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰或直角三角形.解法2：∵a2tanB＝b2tanA，12\n∴＝＝.由正弦定理得＝.由余弦定理得cosB＝，cosA＝.∴＝·＝，整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰或直角三角形．(理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，<C<且＝.(1)判断△ABC的形状；(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．[解析] (1)由＝得，＝，∴＝.由正弦定理得sinB＝sin2C.所以B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，由<C<知<2C<π.即<B<π，∴B＋C>π，与三角形内角和为π矛盾，故B＝2C舍去．∴B＋2C＝π.∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.故△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，12\n∴·＝accosB＝2－a2，∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，由<C<知<2C<π，∴－1<cos2C<－，∴<cosB<1，∴<<1，∴1<a2<，∴<2－a2<1，∴·的取值范围是(，1)．[方法点拨] “变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.12
