8 数学思想与数学方法时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2022·新课标Ⅰ文，10)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )A．－ B．－ C．－ D．－[答案] A[解析] 解法1：由已知条件可得函数图象：故f(a)＝－3＝－log2(a＋1)，可得a＝7；f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.故本题正确答案为A．解法2：由f(a)＝－3得或解之得a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝－.解法3：由指数函数的性质知2x－1>0，∴2x－1－2>－2，∵f(a)＝－3，∴－log2(a＋1)＝－3，∴a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝－.(理)(2022·湖北文，7)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则( )A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx[答案] D[解析] 对于选项A，右边＝x|sgnx|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝46\n显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgnx＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgnx＝而左边＝|x|＝显然正确；故应选D．2．(文)如图，过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )A．4aB．2aC．aD．a[答案] A[解析] 由于弦PQ只要求过焦点F，无论怎样的位置，结论都是一样的，故选取特殊位置．不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝，∴＋＝4a.故选A．(理)已知两定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )A．B．C．D．5[答案] C[解析] 由题作出示意图，分析得出P在P′点处|PA|min，∴|AO|＝2，|OP′|＝.∴|PA|min＝2＋＝.3．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x、y，有( )46\nA．[－x]＝－[x]B．[x＋]＝[x]C．[2x]＝2[x]D．[x]＋[x＋]＝[2x][答案] D[解析] 选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[x＋]＝[2]＝2≠[1.5]＝1；选项C，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]．4．(文)设0<a<b<1，则下列不等式成立的是( )A．a3>b3B．<C．ab>1D．lg(b－a)<0[答案] D[解析] 取a＝，b＝，则()3<()3，排除A；又3>2排除B；ab＝()＝<1，排除C，故选D．(理)(2022·福建文，12)“对任意x∈，ksinxcosx<x”是“k<1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 令f(t)＝sint－t，t∈[0，π]，则f′(t)＝cost－1≤0恒成立，∴f(t)在[0，π]上单调递减，∴f(t)≤f(0)＝0，∴sint≤t，令t＝2x，则0≤x≤，因此当0<x<时可得sinxcosx<x，当k<1时，有ksinxcosx<sinxcosx<x，故必要性成立．令x＝，则ksinxcosx<x，即k<，取k＝，满足ksinxcosx<x，但此时k>1，故充分性不成立．5．(文)函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )46\n[答案] D[解析] 对于选项A、B，对数函数单调递增，故>1，∴>1或<－1，－<－或－>，但A、B两项二次函数的对称轴都在内，故A、B都不对．对于C、D两选项，对数函数单调递减，故0<<1，故－1<<1且≠0，∴－<－<且－≠0，选项C二次函数的对称轴在内，故C不正确．(理)(2022·沈阳市质检)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝.若函数g(x)＝，则函数y＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上零点的个数是( )A．7 B．8 C．9 D．10[答案] D[解析] 如图，当x≤0时，y＝f(x)与y＝ex的图象有6个交点；当x>0时，y＝f(x)与y＝lnx的图象有4个交点．故选D．6．(2022·石家庄市质检)已知两定点A(－2，0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )46\nA．B．C．D．[答案] B[解析] 如图，问题转化为在直线y＝x＋3上求一点P，使得|PA|＋|PB|取最小值，作点A(－2,0)关于直线y＝x＋3的对称点A′，连接A′B与直线y＝x＋3的交点P即为所求．∴A′(－3,1)，∴|A′B|＝＝，∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝，∴椭圆的长轴长为2a＝，∴a＝，又∵椭圆的焦距2c＝4，∴c＝2，故离心率为e的最大值为＝＝.7．(文)(2022·安徽文，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx[答案] D[解析] 考查函数的奇偶性与零点．选项A，y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，故y＝lnx不具备奇偶性，故A错误；选项B，y＝x2＋1是偶函数，但y＝x2＋1＝0无解，即不存在零点，故B错误；选项C，y＝sinx是奇函数，故C错；选项D，y＝cosx是偶函数，且y＝cosx＝0⇒x＝＋kπ，k∈Z，故D项正确．(理)(2022·北京文，3)下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x[答案] B[解析] 根据偶函数的定义f(－x)＝f(x)，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B．46\n8．(文)已知三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则( )A．a≠1 B．a≠－1C．a≠±1D．a≠±1且a≠－2[答案] D[解析] 若构成三角形，三条直线应不交于同一点且任意两条不平行，考察选择支，当a＝1时，l1∥l3，排除B．a＝－1时，l1∥l2，排除A．a＝－2时，可见交于同一点(1,1)排除C，选D．(理)曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(5<m<9)的( )A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同[答案] A[解析] ∵5<m<9，且m<6，∴5<m<6，∴＋＝1为双曲线，＋＝1为椭圆，它们的离心率不可能相等，两曲线也不可能重合，排除B、D，而焦点也不同，一个在x轴上，一个在y轴上，故排除C，故选A．9．(2022·福建文，8)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A．B．C．D．[答案] B[解析] 解法1：由已知得，B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，F(0,1)(F为f(x)与y轴的交点)，则矩形ABCD面积为3×2＝6，阴影部分面积为×3×1＝，故该点取自阴影部分的概率等于＝.46\n解法2：注意题中条件不难发现图中M点为ON的中点，故△CDM的面积为矩形ABCD面积的，选B．10．(2022·浙江文，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m[答案] A[解析] 选项A为平面与平面垂直的判定定理，故正确；选项B中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l∥β时，α，β可以相交；选项D中，α∥β时，l，m也可以异面．故选A．11．(文)(2022·西宁检测二)下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；线性回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；线性回归直线＝x＋必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y46\n有关系”的可信程度越大，故⑤正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C．[易错分析] 本题易错在对基本概念或者基本性质掌握不扎实，纠错方法是逐个落实基本概念，切勿眼高手低，以致丢失一些基础分．(理)(2022·梧州二模)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝( )A．B．C．D．[答案] A[解析] P(AB)＝＝，P(A)＝1－＝，所以P(B|A)＝＝.12．(文)(2022·柳州市模拟)已知函数f(x)＝cos，根据下列框图，输出S的值为( )A．670B．670C．671D．672[答案] C[解析] 由程序框图知，程序运行过程依次为：开始，S＝0，n＝1，y＝f(1)＝cos＝，y>0成立→S＝0＋＝，n＝1＋1＝2，n≤2022成立→y＝f(2)＝cos＝－，y>0不成立→n＝2＋1＝3，n≤2022成立→y＝f(3)＝cosπ＝－1，y>0不成立→n＝3＋1＝4，n≤2022成立→y＝f(4)＝cos＝－，y>0不成立→n＝4＋1＝5，n≤2022成立→y＝f(5)＝cos＝，y>0成立，S＝＋＝1，n＝5＋1＝6，n≤2022成立→y＝f(6)＝cos2π＝1，y>0成立，S＝1＋1＝2，n＝6＋1＝7，n≤2022成立→y＝f(7)＝cos＝，…y＝f(n)是周期为6的函数，当n＝2022时，∵2022＝6×335＋5，∴输出的S＝335×2＋＋＝671，选C．(理)(2022·南昌市二模)安排A，B，C，D，E，F六名女工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题．义工A46\n不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有( )A．30B．40C．42D．48[答案] C[解析] 若B照顾甲，则有CCC种方法；若B不照顾甲，则有CCC种方法，故适合条件的安排方法有CCC＋CCC＝42种．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A、B两点，则·＝________.[答案] －3[解析] 由于没有限制直线AB的位置，故取其特殊位置——与x轴垂直的情形可得A(1,2)，B(1，－2)，∴·＝－3.[点评] 其一般解法为：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1，将x＝my＋1代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝(m2＋1)·(－4)＋4m2＋1＝－3.(理)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则·＝________.[答案] －[解析] 因为直线方程中的三个系数a、b、c均未知，因此直线位置不确定，故可利用条件|AB|＝取特殊位置来解答．令A(－，)，B(，)，则|AB|＝，∴·＝－×＋×＝－.14．(文)已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n⊂γ，n∥β.能推出m∥n的条件是________．[答案] ①或③[解析] 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD．因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与平面A′B46\n为异面直线，故m与n不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′故可推得结论：(理)已知两个实数集A＝{a1，a2，…，a60}与B＝{b1，b2，…，b25}．若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a60)，则这样的映射共有________个．[答案] C[解析] 由映射的定义及条件知，A中每个元素在B中都有象，B中每个元素在A中都有原象，可以多对一，但不能一对多．又由f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a60)知，象只能从大到小顺序排列，我们可以构造这样的数学模型来解决，将a1，a2，…，a60依次排成一列，从所形成的59个空隙中选取24个用插板隔开，然后让集合B中的元素按从大到小的顺序依次从左到右对应到这25个部分，每一部分有n个元素，这n个元素的象都是集合B中的这一个元素，∴共有C种对应方法．15．(2022·福建理，14)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．[答案] (1,2][解析] 当x≤2时，－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需f1(x)＝3＋logax(x＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a＞1，所以f1(x)＞3＋loga2，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]．16．(文)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．[答案] [－2，][解析] 由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A(，0)，B(0，－1)时，z46\n分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故z的取值范围是[－2，]．(理)(2022·新课标Ⅱ理，16)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] 在坐标系中画出圆O和直线l：y＝1，其中M(x0,1)在直线上，设l与y轴交点为A，过M作⊙O的切线MB，切点为B，则∠OMB＝∠OMA≥45°，又当x0＝1时，∠OMB＝45°，∴当－1≤x0≤1时，点N存在，∴－1≤x0≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(文)(2022·江西理，16)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈(－，)．(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f()＝0，f(π)＝1，求a、θ的值．[审题要点] (1)已知a和θ的值，求f(x)的最值，解题流程化简f(x)为一角一函形式→求ωx＋φ的取值范围→求sin(ωx＋φ)的取值范围→求f(x)的最值．(2)由f()＝0，f(π)＝1，求a、θ值解题流程由条件列关于a、θ的方程组→解三角方程，结合θ∈(－，)求a、θ的值．[解析] (1)f(x)＝sin(x＋)＋cos(x＋)＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin(－x)．因为x∈[0，π]，从而－x∈[－，]．故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得46\n又θ∈(－，)知cosθ≠0，解得[易错警示] 1.f(x)在[0，π]上最值与f(x)在R上最值不同；2．解a、θ的方程组时，注意θ∈(－，)．(理)(2022·山东理，16)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，设函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)．(1)求m、n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．[审题要点] (1)由f(x)＝a·b可得f(x)解析式，由f(x)图象上两点坐标可求m、n.(2)将f(x)化为“一角一函”形式→求g(x)→由g(x)图象上最高点与(0,3)最小距离为1，求φ→求g(x)的递增区间．[解析] (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，所以即解得m＝，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，46\n所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.[易错警示] 1.注意左、右平移的区别．2．f(x)＝Asin(ωx＋φ)与g(x)＝Acos(ωx＋φ)型函数单调区间注意别弄混．[方法点拨] 三角变换、三角函数的图象与性质及解斜三角形高考命题一般规律是将三角函数的图象与性质与三角变换或者解三角形、平面向量结合在一起．18．(本题满分12分)(文)(2022·河南省八市质量监测)某校在2022年2月份的高三期末考试结束后为了研究本校的数学成绩，随机抽取了50名学生的数学成绩分析，现将成绩按如下方式分为7组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，……第七组[140,150]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)为了具体了解本次考试的情况，从成绩在[130,150]的同学中任意抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是多少？[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：1－(0.01×10＋0.02×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10＋0.004×10)＝1－0.88＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.2＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＋145×0.04＝8.5＋19＋31.5＋18.4＋15＋10.8＋5.8＝109.(2)根据频率分布直方图可知成绩在[130,140)有50×0.08＝4人，记为a1，a2，a3，a4,成绩在[140,150]有50×0.04＝2人，记为b1，b2.从中任取2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种抽法，恰好有一人的成绩位于[140,150]的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共有8种抽法，所以P＝，即恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是.46\n(理)(2022·湖南理，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．[解析] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.因P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×(1－)＋(1－)×＝，故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B(3，)．于是P(X＝0)＝C()0()3＝，P(X＝1)＝C()1()2＝，P(X＝2)＝C()2()1＝，P(X＝3)＝C()3()0＝.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)＝3×＝.46\n19．(本题满分12分)(文)(2022·哈三中一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，求三棱锥P－QBM的体积．[分析] (1)由四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°可知△ABD为正三角形，PA＝PD和Q为AD中点表明PQ⊥AD；要证平面PQB⊥平面PAD，需在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，那么这条直线可能为PQ或AD，考虑△ABD中Q为边AD的中点可知BQ⊥AD，故AD即所找的直线，这样只要证明AD⊥平面PQB即可．(2)由于平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，则在其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，PA＝PD＝AD，Q为AD的中点就提供这条直线，即PQ⊥平面ABCD．欲求VP－QBM，由于PM＝2MC，∴可由VP－QBM＝2VC－QBM＝VP－BQC进行等积转化，也可以由CB⊥平面PQB得平面PBC⊥平面PQB，∴过M作MH⊥PB，垂足为H，则MH为棱锥M－PQB的高．[解析] (1)∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴BC⊂平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面PQB，又PM＝2MC，∴VP－QBM＝VM－PQB＝·····2＝.46\n[方法点拨] 在立体几何证题中，要牢记线线平行、线面平行与面面平行之间可以相互转化，线线垂直、线面垂直与面面垂直之间可以相互转化，要注意结合图形寻找条件与结论之间的联系．(理)(2022·沈阳市质检)如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F.(1)求证：BF⊥平面ACD；(2)若AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值．[审题要点] (1)由D在圆周上知BD⊥CD．又AB⊥平面BCD，可知CD⊥平面ABD，欲证BF⊥平面ACD，由于BF⊥AD，只要找到平面ACD内与BF垂直的另一条直线即可，CD即是要找的直线．(2)①要找出二面角的平面角，需找到二面角的棱，这样作图会很麻烦，注意到AB⊥平面BCD，从而平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，故E、F在底面上的射影分别在BC、BD上，故可用△BEF与其射影三角形的面积来求二面角的余弦值；②由AB⊥平面BCD知为平面BCD的一个法向量，由于AE⊥AC，BF⊥平面ACD，故是平面BEF的法向量，则二面角的计算可转化为研究与的夹角；③从众多垂直关系中，找到建系方案，可用坐标法讨论．[解析] (1)证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，∵AB⊥圆O所在的平面，∴AB⊥CD，且AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD．又∵BF⊂平面ABD，∴CD⊥BF，又∵BF⊥AD，且AD∩CD＝D，∴BF⊥平面ACD．(2)方法一：(向量法)由(1)知：BF⊥平面ACD，AC⊂平面ACD，∴BF⊥AC，又BE⊥AC，且BE∩BF＝B，∴AC⊥平面BEF，即是平面BEF的一个法向量．46\n又由已知AB垂直于圆O所在的平面，得是平面BCD的一个法向量，∴平面BEF与平面BCD所成的锐角二面角与向量与所成的角相等，故所求锐角二面角的余弦值为cos∠CAB＝.方法二：(射影面积法)过点F作FG∥AB，交BD于点G，连接OG、OE，可知EO、FG都垂直于平面BCD，∴△BGO是△BFE在平面BCD上的射影，∵AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，∴BD＝DC＝，又∵BF⊥AD，∴DF＝＝＝AD，∴BG＝BD＝，∴S△BOG＝BO·BG·sin45°＝.在Rt△ABD中，由于BF⊥AD得BF＝＝＝，∵BF⊥平面ACD，EF⊂平面ACD，∴BF⊥EF，则在Rt△BEF中，BE＝，∴EF＝＝，∴S△BEF＝BF·EF＝.设平面BEF与平面BCD所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝.46\n方法三：向量坐标法．如图，以O为原点建立空间直角坐标系．则B(0，－1,0)，E(0,0,1)，D(1,0,0)，A(0，－1,2)，∵BF⊥AD，∴DF＝＝＝AD，得＝，∴点F(，－，)，＝(，，)，＝(0,1,1)．设平面BEF的法向量为n1＝(x，y，z)，则即解得不妨取平面BEF的法向量n1＝(0，－1，1)，而又由已知AB垂直于圆O所在的平面，得是平面BDC的一个法向量，即n2＝＝(0,0,2)，设平面BEF与平面BCD所在锐角二面角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝||＝.20．(本题满分12分)(文)(2022·河南六市联考)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：＋＋…＋＝an＋1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0.由a2＋a6＝14，可得a4＝7.由a3a5＝45，得(7－d)(7＋d)＝45，可得d＝2.所以a1＝7－3d＝1.46\n可得an＝2n－1.(2)设cn＝，则c1＋c2＋…＋cn＝an＋1.即c1＋c2＋…＋cn＝2n，可得c1＝2，且c1＋c2＋…＋cn＋cn＋1＝2(n＋1)．所以cn＋1＝2，可知cn＝2(n∈N*)．所以bn＝2n＋1，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n项和Sn＝＝2n＋2－4.(理)(2022·江西上饶市三模)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：{an＋1}是等比数列；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.[解析] (1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，则＝2为常数，∴{an＋1}是等比数列．(2)∵a1＝1，可得an＋1＝2n，∴an＝2n－1，则nan＝n·2n－n，设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1Tn＝－2－22－23－…－2n＋n·2n＋1＝－＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2∴Sn＝(n－1)2n＋1－＋2.21．(本题满分12分)(文)设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点．[分析] 第(1)问求f(x)在(3，f(3))处的斜率就是求f′(3)；第(2)问求f(x)的极值点，由于f(x)中含参数a，a的取值变化会引起f(x)单调区间的改变，从而极值改变，故需分类讨论．[解析] (1)由已知x>0，当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，46\n曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为f′(3)＝.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝a，①若0<a<1，则当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②若a>1，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．(理)已知函数f(x)＝ax2＋lnx，其中a∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是－1，求a的值．[分析] (1)求函数f(x)的单调区间，按用导数法求单调区间的一般步骤求解，由于f(x)解析式中含参数，故需分类讨论．第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于－1列方程求解．[解析] (1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．当a≥0时，f′(x)>0，从而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝，舍去x＝－.此时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(0，)(，＋∞)f′(x)＋0－46\nf(x)f()所以，f(x)的单调递增区间是(0，)；单调递减区间是(，＋∞)．(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝.令＝－1，得a＝－2，这与a≥0矛盾，舍去a＝－2.②当－1≤a<0时，≥1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝.令＝－1，得a＝－2，这与－1≤a<0矛盾，舍去a＝－2.③当a<－1时，0<<1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f()．令f()＝－1，解得a＝－e，满足a<－1.综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是－1时，a＝－e.22．(本题满分12分)(文)(2022·河南洛阳市期末)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)，F(c,0)，(c>0)，则过右焦点F的直线l1：x－y－c＝0，由坐标原点O到l1的距离为.则＝，解得c＝1.又e＝＝，故a＝，b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则|MP|＝|MQ|，因为直线与x轴不垂直，46\n所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴Δ＝8k2＋8>0恒成立，∴x1＋x2＝，x1x2＝.设线段PQ的中点为N(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝，∵|MP|＝|MQ|，∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1，即·k＝－1，∴m＝＝.∵k2>0，∴0<m<.(理)(2022·长春市质量监测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为(0,1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：过椭圆＋＝1(m>n>0)上一点Q(x0，y0)的切线方程为＋＝1；(3)从圆x2＋y2＝16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时，求|MN|的最小值．[解析] (1)∵b＝1，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当y>0时，y＝n，故y′＝－·，∴当y0>0时，切线的斜率k＝－x0·46\n＝－·＝－·.∴切线方程为y－y0＝－·(x－x0)，∴n2x0x＋m2y0y＝m2y＋n2x＝m2n2，∴＋＝1.当y0＝0时，切线方程为x＝±m，满足＋＝1.综上，过椭圆＋＝1上一点Q(x0，y0)的切线方程为＋＝1.(3)设点P(xP，yP)为圆x2＋y2＝16上一点，PA、PB是椭圆＋y2＝1的切线，切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，过点A的椭圆的切线为＋y1y＝1，过点B的椭圆的切线为＋y2y＝1.∵两切线都过P点，∴＋y1yP＝1，＋y2yP＝1.∴切点弦AB所在直线的方程为＋yyP＝1.∴N(0，)，M(，0)，∴|MN|2＝＋＝(＋)·＝(＋17＋16·)≥(17＋2)＝，当且仅当＝16，即x＝，y＝时取等号，∴|MN|≥，∴|MN|的最小值为.反馈练习一、选择题1．(文)(2022·山东理，5)已知实数x、y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A．> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C．sinx>sinyD．x3>y346\n[答案] D[解析] ax<ay(0<a<1)，∴x>y，而幂函数y＝x3在定义域上为增函数，∴x3>y3.[点评] 可以用特值检验法求解．(理)(2022·唐山市二模)若正数a、b、c满足c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则a＋2b＋c的最小值为( )A．B．2C．2D．2[答案] D[解析] ∵c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，∴c(c＋4b)＋2a(c＋4b)＝8，∴(c＋4b)(c＋2a)＝8，∵a、b、c都为正数，∴(c＋4b)(c＋2a)≤()2，∴(a＋2b＋c)2≥8，∴a＋2b＋c≥2.2．(文)(2022·新课标Ⅱ文，5)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A．n(n＋1)B．n(n－1)C．D．[答案] A[解析] ∵a2，a4，a8成等比数列，{an}的公差为2,(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2，∴Sn＝na1＋＝2n＋×2＝n(n＋1)．(理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )A．3 B．4 C．5 D．6[答案] C[解析] Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，∴d＝am＋1－am＝3－2＝1，Sm＝a1m＋·1＝0，①am＝a1＋(m－1)·1＝2，∴a1＝3－m.②②代入①得3m－m2＋－＝0，46\n∴m＝0(舍去)或m＝5，故选C．3．(文)(2022·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，＝3，则b等于( )A．3 B．4 C．6 D．7[答案] B[解析] ∵＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·，∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.(理)(2022·东北三省三校二模)已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A．sin2α＝2αcos2αB．cos2α＝2αsin2αC．sin2β＝－2βsin2βD．cos2β＝－2βsin2β[答案] C[解析] 令y＝|cosx|，y＝kx，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<，<β<π，检验可知，选C．4．(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87 794 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为( )A．B．C．36D．[答案] B46\n[解析] 去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x，由＝91＝得x＝4，则方差S2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝.(理)若随机变量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，则P(0<X<2)＝( )A．1－2mB．C．D．1－m[答案] A[解析] 本题可利用正态曲线的对称性解答．据题意知正态曲线关于直线x＝1对称，故P(0<X<1)＝－P(X≤0)＝－m，因此P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2(－m)＝1－2m.5．已知α是三角形的最大内角，且cos2α＝，则曲线＋＝1的离心率为( )A． B．C．D．[答案] D[解析] ∵α是三角形的最大内角，∴≤α<π，∴≤2α<2π，又∵cos2α＝，∴2α＝，∴α＝，∴sinα＝，cosα＝－，∴曲线＋＝1为－＝1，∴a2＝，b2＝，c2＝，∴离心率e＝＝＝.6．(2022·甘肃省三诊)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A．2 B．4 C．3 D．6[答案] B[解析] 由题意知，直线2ax＋by＋6＝0，过圆心(－1,2)，∴a－b－3＝0，圆心(－1,2)到直线a－b－3＝0的距离为＝3，∴所作的切线长的最小值是＝4.46\n7．(2022·邯郸市模拟)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝|sinx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)其中x1<x2<x3<x4，则有( )A．sinx4＝1B．sinx4＝(x4＋1)cosx4C．sinx4＝kcosx4D．sinx4＝(x4＋1)tanx4[答案] B[解析] ∵直线y＝k(x＋1)(k>0)与y＝|sinx|图象恰有四个公共点，如图∴当x∈(π，2π)时，函数y＝|sinx|＝－sinx，y′＝－cosx.依题意，切点为(x4，y4)，∴k＝－cosx4，又x∈(π，2π)时，|sinx4|＝－sinx4∴y4＝k(x4＋1)，即－sinx4＝(－cosx4)·(x4＋1)，∴sinx4＝(x4＋1)cosx4，故选B．8．(文)(2022·河北省衡水中学一模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a、b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝( )A．10B．12C．13D．16[答案] C[解析] 如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x＝a＋b＝13.(理)(2022·重庆文，10)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3B．146\nC．D．3[答案] B[解析] 如图，由于不等式组表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于，再注意到直线AB：x＋y－2＝0与直线BC：x－y＋2m＝0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A(2,0)，B(1－m，m＋1)，C(，)；从而S△ABC＝|2＋2m|·|m＋1|－|2＋2m|·||＝，化简得：(m＋1)2＝4，解得m＝－3，或m＝1；检验知当m＝－3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m＝1；故选B．9．(文)一个四面体的顶点在空间直角坐系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为( )[答案] A[解析] 由已知条件作出四面体的直观图如图所示，将四面体BDC1A1补形为正方体ABCD－A1B1C1D1，容易看出四面体在zOx平面上的投影为ADD1A1(其中C1的投影为D1，B的投影为A)，且BC1的投影线为AD1，它是实线，故选A．46\n(理)(2022·新课标Ⅰ理，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6B．6C．4D．4[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体是一个三棱锥S－ABC，底面ABC为等腰直角三角形，直角边长AB＝BC＝4，侧面SBC⊥底面ABC，侧面SBC是一个等腰三角形，底边BC＝4，高SO＝4，故其最长的棱为SA，取BC的中点O，则SO⊥平面ABC，∴BO＝2，AO＝＝，∴SA＝＝6.其直观图如图1，把该几何体放入正方体中如图2.10．(文)已知区域M：x2＋y2－2x－2y－2≤0，区域N：2－x≤y≤x，随机向区域M中投放一点．该点落在区域N内的概率为( )A． B． C． D．[答案] A[解析] M：(x－1)2＋(y－1)2≤4为以C(1,1)为圆心，2为半径的圆及其内部的平面区域；又区域N：2－x≤y≤x，如图可知，随机向区域M内投放一点，则该点落在区域N内的概率P＝.46\n(理)(2022·湖北理，4)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[答案] D[解析] 由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝<P(Y≥μ1)，P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，对任意实数t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴C错，P(X≤t)≥P(Y≤t)正确，故选D．11．当0<x<时，函数f(x)＝的最小值为( )A．－4B．－2C．4D．2[答案] D[分析] 分式形式的函数的最值问题常考虑构造斜率模型求解，常常是过一个定点和一个动点的直线斜率．[解析] f(x)＝＝，它表示点(0,3)与点(－sin2x，cos2x)连线的斜率，而点(－sin2x，cos2x)在x∈(0，)时是圆x2＋y2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f(x)最小．设切线方程为y＝kx＋3，则46\n＝1⇒k＝2或k＝－2(舍)，故f(x)的最小值为2.[方法总结] 1.形如直线的斜率、直线的方程、圆与圆锥曲线方程形式的代数式或等式可考虑以形助数．2．复数、向量中的最值问题或与模有关的问题常借助图形分析．3．三角函数问题中，求参数的取值范围(或恒成立)问题，图形的最高(低)点及对称，与其他曲线的交点等，常借助图象寻找关系．12．(文)函数f(x)在(0,2)上是减函数，且关于x的函数f(x＋2)是偶函数，那么( )A．f<f<f(3)B．f(3)<f<fC．f(3)<f<fD．f<f(3)<f[答案] D[解析] 根据题意知，函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，且把它的图象沿x轴正方向平移2个单位便得到函数y＝f(x)的图象．因此函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且在(0,2)上递减．于是可作出函数y＝f(x)的示意图．∴f<f(3)<f＝f，故选D．(理)设x，y∈R，且满足则x＋y＝( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] D[分析] 观察两个条件式有相同的构成特征，于是构造函数f(x)，视两式为f(x)的两个函数值，利用函数变换及性质解决．[解析] 令f(x)＝(x－2)3＋2x＋sin(x－2)，则f′(x)＝3(x－2)2＋2＋cos(x－2)>0，∴f(x)单调递增，∴f(4－x)＝(2－x)3＋2(4－x)＋sin(2－x)＝－(x－2)3－2x－sin(x－2)＋8＝－f(x)＋8＝－2＋8＝6＝f(y)，∴4－x＝y，∴x＋y＝4.46\n二、填空题13．(文)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C的大小为________．[答案] [审题要点] 审条件，A＋B＋C＝180°，sin2A＋cos2A＝1，sin2B＋cos2B＝1；审结论，求∠C可求C的某个三个函数值，结合条件，有sinC＝sin(A＋B)；建立联系，确定方法，将两式两边平方相加．[解析] 由3sinA＋4cosB＝6且3cosA＋4sinB＝1.平方相加，得sin(A＋B)＝，所以sinC＝，所以C＝或π.注意到三角形内角和为π，且角A、B的相互制约关系1－3cosA＝4sinB>0.∴cosA<，从而A>，所以C≠π，因此C＝.(理)(2022·哈三中一模)已知θ∈(0，)，由不等式tanθ＋≥2，tanθ＋＝＋＋≥3，tanθ＋＝＋＋＋≥4，归纳得到推广结论：tanθ＋≥n＋1(n∈N*)，则实数m＝________.[答案] nn[解析] 观察所给三个不等式的特点可以发现，分母中tanθ的指数是k时，等式右端为k＋1，分子是kk，故tanθ＋＝＋＋…＋＋≥n＋1，∴m＝nn.14．(文)(2022·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，，…，根据它的前10项的规律，则a99＋a100的值为________．[答案] [解析] 由前10项的构成规律知，分子分母和为n＋1(n∈N*)的共有n46\n项，从和为2到和为n＋1的最后一项，共有1＋2＋3＋…＋n＝项，当n＝13时，＝91，n＝14时，＝105，因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项，∴a99＋a100＝＋＝.(理)已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，则函数f(n)的最小值是________．[答案] [解析] 由题意知，an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，公差d＝1，an＝n，当n≥2时，f(n)＝＋＋＋…＋，∵f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋－(＋＋＋…＋)＝＋－＝－>0，∴f(2)<f(3)<…，∴[f(n)]min＝f(2)＝＋＝.15．(文)(2022·郑州市质检)已知x、y∈(－，),m∈R且m≠0,若，则＝________.[答案] －[解析] ln＝ln，令＝t，则ln＝tan2t＋2m，令f(t)＝tan2t－ln，∴f(t)是定义域上的奇函数，∵t∈(－，)，∴2t∈(－1,1)，∴f(t)为定义域上的增函数，f()＝tanx－ln＝－2m，f(y)＝tan2y－ln＝2m，46\n两式相加得f()＋f(y)＝0，∴f()＝－f(y)＝f(－y)，∴＝－y，∴＝－.(理)(2022·哈三中二模)在平行四边形ABCD中，＝，＝2，连接CE、DF相交于点M，若＝λ＋μ，则实数λ与μ的乘积为________．[答案] [解析] ∵＝，∴E为AB中点，∵＝2，∴F为BC的靠近点B的三等分点，设＝b，＝a，设＝k，则＝＋＝－k＋＝－k(＋－)＋＝－k(b＋a－a)＋b＝(1－k)b＋ka.＝＋＋＝－b－a＋b＝－a－b，∵与共线，∴存在实数x，使＝x，∴ka＋(1－k)b＝－xa－xb，∴∴k＝.∴＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋(－a＋b＋a)＝a＋b，又＝λ＋μ＝λb＋μa，∴μ＝，λ＝，∴λμ＝.46\n[方法点拨] 1.解答向量的线性表示的题目，要抓住向量的起点、终点，按照“首尾相接，首指向尾”的加法运算法则和“同始连终，指向被减”的减法运算法则进行，运用平行四边形法则时，两向量起点必须重合，运用三角形法则时，两向量必须首尾相接，否则就要把向量平移．2．在两直线相交(或三点共线)问题中，常应用待定系数法，将共线的向量中一个用另一个表示，再通过运算确定待定系数．经常依据平面向量基本定理，某向量用同一组基向量的表示式唯一来求待定系数．16．(文)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，若f(x)＝sin(x－[x])，则下列结论中：①y＝f(x)是奇函数；②y＝f(x)是周期函数，周期为2π；③y＝f(x)的最小值为0，无最大值；④y＝f(x)无最小值，最大值为sin1.正确的序号为________．[答案] ③[解析] f(1.5)＝sin(1.5－[1.5])＝sin0.5，f(－1.5)＝sin(－1.5－[－1.5])＝sin0.5，∴①错；f(x＋1)＝sin(x＋1－[x＋1])＝sin(x＋1－[x]－1)＝sin(x－[x])＝f(x)，∴1为函数f(x)的周期，故②错；令g(x)＝x－[x]，则g(x)在[k，k＋1](k∈Z)上单调递增，且是周期函数，∴g(x)∈[0,1)，∴f(x)∈[0，sin1)，∴③正确，④错．(理)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．[答案] [－，][解析] 令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，∴消去x得d＝sin(c－)，∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．三、解答题17．(文)(2022·山西重点中学第三次联考)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.cosA＝，sinB＝cosC．(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．46\n[解析] (1)∵cosA＝∴sinA＝＝，又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．整理得：tanC＝.(2)由(1)知sinC＝，cosC＝由正弦定理知：＝，故c＝.又∵sinB＝cosC＝·＝∴△ABC的面积为：S＝acsinB＝.(理)(2022·天津文，16)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a－c＝b，sinB＝sinC．(1)求cosA的值；(2)求cos(2A－)的值．[审题要点] (1)△ABC内角A、B、C满足A＋B＋C＝π，由两条件式可以角化边，也可以边化角，求cosA的值，用余弦定理可化角为边；(2)用和角公式求cos(2A－)，需先求cos2A，sin2A的值，由(1)知cosA可求得sinA．[解析] (1)∵sinB＝sinC，∴b＝c，代入a－c＝b中可得a＝2c，由余弦定理得cosA＝＝＝.(2)由(1)知cosA＝，又0<A<π，∴sinA＝.∴cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝2××＝.46\n∴cos(2A－)＝－×＋×＝.[易错警示] 1.对条件缺乏分析，盲目应用正、余弦定理，解题思路混乱是常见错误．2．不注意条件A、B、C∈(0，π)的限制得出sinA＝±致误．18．(文)(2022·南昌市一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]．得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一人在第三组，另一人在第四组的概率．[解析] (1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A，第三组人数为50×0.06×5＝15，第四组人数为50×0.04×5＝10，第五组人数为50×0.02×5＝5，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，所以P(A)＝(2)记第三组选中的三人分别是A1，A2，A3，第四组选中的二人分别为B1，B2，第五组选中的人为C，从这六人中选出两人，有以下基本事件：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个基本事件，符合一人在第三组一人在第四组的基本事件有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，所以所求概率P＝＝(理)(2022·太原市一模)已知正三棱锥S－ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA＝SB＝SC＝2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X46\n(若点S与所取三点在同一平面内，则规定X＝0)．(1)求事件“X＝0”的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望．[解析] (1)从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点共有C＝20种不同取法，其中所选取的3个点与点S在同一个平面内的取法共有CC＝12种不同取法．∴所求事件“X＝0”的概率P(X＝0)＝＝；(2)由题意得X的所有可能取值为0，，，，；P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，由(1)得P(X＝0)＝，∴随机变量X的分布列为X0P∴E(X)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.19．(文)(2022·河北衡水中学5月模拟)如图，三角形ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积．[解析] (1)取BE的中点H，连接HF、GH，(如图)46\n因为G、F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE，又因为ADEB为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB，所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，又HF∩HG＝H，所以平面HGF∥平面ABC，所以GF∥平面ABC．(2)因为ADEB为正方形，所以EB⊥AB，又因为平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC，又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC，因为BC∩BE＝B，所以AC⊥平面BCE.(3)取AB的中点N，连接CN，因为AC＝BC，所以CN⊥AB，又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以CN⊥平面ABED．因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以CN＝AB＝，因为C－ABED是四棱锥，所以VC－ABED＝SABED·CN＝.(理)(2022·陕西理，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD、BC的平面分别交四面体的棱BD、DC、CA于点F、G、H.46\n(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．[解析] (1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，DC∩BD＝D，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．(2)解法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，∴n·＝0，n·＝0，得取n＝(1,1,0)，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝||＝＝.解法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD、DC的中点，得E(1,0，)、F(1,0,0)、G(0,1,0)．∴＝(0,0，)，＝(－1,1,0)，＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，46\n则n·＝0，n·＝0，得取n＝(1,1,0)，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝||＝＝.20．(文)(2022·唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋…＋，证明：≤bn＜1.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1.所以an＝n＋1.(2)由(1)可知bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋，因为bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，所以数列{bn}单调递增．bn≥b1＝.又bn＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝＜1，因此≤bn＜1.(理)已知各项均为正数的数列{an}满足a－a＝a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，若存在正整数m、n(1<m<n)，使得b1，bm，bn成等比数列，求m、n的值．[审题要点] (1)由条件式a－a＝a＋anan＋1通过变形可得an与an＋1的关系，结合a2＋a4＝2a3＋4可求得an的表达式(也可以用赋值法令n＝2,3解决)．(2)由(1)可得an，求出bn，利用b1，bm，bn成等比数列列出关于n、m的方程组，由m∈N*，求出m、n.46\n[解析] (1)因为a－a＝a＋anan＋1，所以(an＋1＋an)(2an－an＋1)＝0，又an>0，所以有2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1，所以数列{an}是公比为2的等比数列，由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2，所以，数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝＝，若b1，bm，bn成等比数列，则()2＝()，即3m2＋n(2m2－4m－1)＝0，所以2m2－4m－1<0，解得1－<m<1＋，又m∈N*，且m>1，所以m＝2，此时n＝12.[易错警示] 1.an>0的隐含条件容易忽视．2．第(2)问利用b1，bm，bn成等比数列列出m、n的方程后不会利用m∈N*的条件，找不到解题思路，因此特别提醒注意细节，注意隐含条件的发掘利用．21．(文)(2022·唐山市一模)已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1.[审题要点] (1)解题流程：求f′(x)→求f(x)的单调区间→求f(x)的最大值．(2)x>0时，g(x)<1，即f(x)<x，由(1)易证．－1<x<0时，g(x)<1，即f(x)>x，令h(x)＝f(x)－x，则问题转化为证明h(x)>0，进一步转化为在(－1,0)上讨论h(x)的单调性与极值问题．[解析] (1)f′(x)＝－xex.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.(2)由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1.当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x.设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，从而当x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0)上单调递减．46\n当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.综上，总有g(x)＜1.[易错警示] 不考虑x的符号，盲目将g(x)<1化为f(x)<x是常见错误，避免失误的关键是对不等式变形时要对比不等式的性质进行．(理)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围．[审题要点] (1)已知b＝4，求f(x)的极值解题流程为：求f′(x)→解不等式f′(x)≥0，及f′(x)≤0确定f(x)的单调区间→求f(x)的极值．(2)f(x)在区间(0，)内单调递增，即f′(x)≥0在(0，)内恒成立．故解题流程为：求f′(x)→将f′(x)≥0利用x∈(0，)恒成立化简→利用x∈(0，)时不等式恒成立，求b的取值范围．[解析] (1)当b＝4时，f(x)＝(x＋2)2的定义域为(－∞，)，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，因为当x∈(0，)时，<0，依题意当x∈(0，)时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为(－∞，]．[易错警示] 本题易将f(x)在(0，)上单调递增，误为f(x)的单调增区间为(0，)致误．22．(文)如图，已知点F为抛物线C1：y2＝4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1、l2，分别交抛物线C1于A、C、B、D四点，E、G分别为AC、BD的中点．46\n(1)当直线AC的斜率为2时，求直线EG的方程；(2)直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由．[审题要点] (1)由曲线C1得F坐标→求l1方程→由l1⊥l2，求l2方程→由l1交曲线C1于两点A、C，求中点E坐标→由l2交曲线C1于两点B、D，求中点G坐标→求EG方程．(2)讨论EG是否过定点，先假设过定点，取两特殊直线求出交点H，再就一般情形进行讨论．或设l1、l2的方程(用k表示)→将l1、l2方程与抛物线方程联立，用根与系数关系求E、G的坐标→写出EG的方程→分离参数k说明EG过(或不过)定点[解析] (1)因为F为抛物线C1：y2＝4x的焦点，所以F的坐标为(1,0)．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线AC的斜率为2时，直线AC的方程为x＝y＋1，代入抛物线C1的方程，可得y2－2y－4＝0，则y1＋y2＝2，故x1＋x2＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝3，则AC的中点坐标为E(，1)．由AC⊥BD可得直线BD的方程为x＝－2y＋1，同理可得BD的中点坐标为G(9，－4)．由E(，1)，G(9，－4)可得直线EG的方程为2x＋3y－6＝0.(2)直线EG过定点(3,0)．设A(x3，y3)，C(x4，y4)，直线AC的方程为x＝my＋1，代入抛物线C1的方程可得y2－4my－4＝0，则y3＋y4＝4m，故x3＋x4＝my3＋1＋my4＋1＝4m2＋2，则AC的中点坐标为E(2m2＋1,2m)，由AC⊥BD可得BD的中点坐标为G(＋1，－)，∴kEG＝＝，∴EG方程为y－2m＝(x－2m2－1)，即y＝(x－3)．故直线EG过定点H(3,0)．46\n[易错警示] 写出直线EG的方程后，不知从何处着手．讨论EG是否过定点，关键看直线EG的方程与什么参数有关联．(理)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，(－2,0)，(4，－4)，(，)．(1)求C1、C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交与不同的两点M、N且满足⊥.若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．[审题要点] (1)四个点中有2个在C1上，有两个在C2上，由于C2方程较简单，故先验证找出在C2上的点，进而求得C1、C2的方程．(2)直线l过F可设出直线l的点斜式方程(斜率为k)这时已满足条件①；将l与C1的方程联立消元，由根与系数的关系可得x1x2，进而求得y1y2，由⊥知·＝0，若能解出k值则存在，否则不存在．[解析] (1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，据此验证4个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，易求C2：y2＝4x.设C1：＋＝(a>b>0)，把点(－2,0)，(，)代入得：，解得.∴C1方程为＋y2＝1.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，直线交椭圆C1于M(1，)，N(1，－)，·≠0不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，于是x1＋x2＝，x1x2＝.①y1y2＝k(x1－1)×k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，即y1y2＝k2(－＋1)＝－.②46\n由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0(*)．将①、②代入(*)式，得－＝＝0，解得k＝±2，所以存在直线满足条件，直线方程为：2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.[易错警示] (1)对于给出四点不加分析盲目计算，加大运算量，导致浪费时间或计算错误；(2)设点斜式方程，不讨论斜率k不存在的情况导致解答不完整．46
