仿真测2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数，则a的值是( )A．－3 B．－3或1C．3或－1D．1[答案] D[分析] 易错点、纯虚数要求虚部不为0.[解析] 因为复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数，所以解得a＝1.(理)(2022·河南八市质量监测)如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则＝( )A．－2i B．2iC．2D．－2[答案] A[解析] 由图可知z2＝2＋2i，z1＝－1＋i，则＝＝＝－(1＋i)2＝－2i.[方法点拨] 准确应用概念、定理的前提是理解和熟记，特别是其中易混易错易忘的地方，可单独记录在案，不断强化记忆，并在解题过程中通过实践加深印象，才能有效的防范和避免失误．2．(2022·河北衡水中学一模)下列函数，有最小正周期的是( )A．y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x2＋1)0[答案] B[解析] A：y＝sin|x|＝，不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝，不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．3．(2022·南昌市二模)下列结论错误的是( )19\nA．命题：“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题为：“若x≠2，则x2－3x＋2≠0”B．“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件C．命题：“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”D．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题[答案] B[解析] 易知A、C、D正确，而a>b时，ac2>bc2不一定成立(如c＝0时不成立)．当ac2>bc2时，a>b一定成立，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．4．(2022·东北三校二模)已知向量与向量a＝(1，－2)的夹角为π，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为( )A．(1,0)B．(0,1)C．(5，－8)D．(－8,5)[答案] A[解析] 设B(x，y)，则＝(x－3，y＋4)，由已知得(x－3)2＋(y＋4)2＝(2)2，cosπ＝＝＝－1，即x－2y－1＝0，联立两方程解得，∴B(1,0)．5．(文)(2022·青岛市质检)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )A．84B．78C．81D．96[答案] B[解析] 设该校高三有x人，则高二有(30＋x)人，故480＋x＋(30＋x)＝1290，∴x＝390.设样本中高三学生人数为t，则＝，∴t＝78.(理)(2022·山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2B．4C．2D．4[答案] D[解析] 如图所示由解得或19\n∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.6．(文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A．B．C．D．1[答案] B[解析] 由三视图知该几何体是底面为直角三角形(两直角边长分别为1,1)高为2的三棱锥，其体积为×(×1×1)×2＝.(理)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A．4B．C．D．6[答案] B[解析] S1＝1，S2＝4，高h＝2，19\n∴V＝(1＋＋4)×2＝.7．(文)曲线x＝与直线y＝x＋b无公共点，则实数b的取值范围是( )A．(－1，)B．(－，1)C．(－∞，－)∪(1，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)[答案] C[分析] 本题常见错误是将两方程联立消元变形为一元二次方程，用判别式得出b>或b<－.[解析] x＝表示右半圆x2＋y2＝1(x≥0)，如图可知，当－≤b≤1时，直线y＝x＋b与曲线有公共点，∴b的取值范围是(－∞，－)∪(1，＋∞)．[方法点拨] 转化要等价：解答数学问题过程中，经常要进行转化(转换)，转化过程中，某些变形可能要使变量的取值范围扩大或缩小，某些变换可能使原变量的受限条件丢失(如换元时原变量的取值范围必须转化为新元的取值范围)等等，平时解题过程中，要注意养成习惯．(理)(2022·吉林市质检)若双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线离心率为( )A．B．3C．D．[答案] C[分析] 本题极易由双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，造成错误迁移得到＝，∴m＝±，而造成错解．[解析] ∵＝，a2＝m2，b2＝1，∴m2＝2，∴a2＝m2＝2，c2＝a2＋b2＝3，∴19\n离心率e＝＝＝.[方法点拨] 运用公式重细节：数学中有大量的公式、法则、性质，它们中好多都有前提条件，使用它们解决问题时，必须注意有无限制条件，题目中给出的条件是否满足其要求．8．(2022·昆明市质检)执行下面的程序框图，若输入x＝1，则输出的S＝( )A．21B．37C．57D．62[答案] B[解析] 由程序框图得：x＝1，S＝0，t＝31＝3，S＝0＋3＝3；x＝1＋1＝2，t＝32＝9，S＝3＋9＝12；x＝2＋1＝3，t＝32＝9，S＝12＋9＝21；x＝3＋1＝4，t＝42＝16，S＝21＋16＝37，结束循环，输出S＝37.9．(2022·太原市模拟)已知△ABC中，cosA＝，cosB＝，BC＝4，则△ABC的面积为( )A．6B．12C．5D．10[答案] A[解析] ∵在△ABC中，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝，由正弦定理＝得，AC＝＝＝3，∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝1，19\n∴∠C为直角，∴S△ABC＝BC·AC＝6，故选A．10．(文)(2022·石家庄市一模)已知偶函数f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝( )A．－＋2B．1C．3D．＋2[答案] D[解析] ∵f(x)为偶函数，且0<<2，∴f(－)＝f()＝2sin＝，∵x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，∴f(4)＝2，故选D．(理)(2022·辽宁文，10)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝，则不等式f(x－1)≤的解集为( )A．[，]∪[，]B．[－，－]∪[，]C．[，]∪[，]D．[－，－]∪[，][答案] A[解析] 解法1：由f(x)为偶函数，且x≥0时，f(x)＝得f(x)＝在同一坐标系中画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝，易知其交点为A(，)，B(，)，C(－，)，D(－，)，由图易知，f(x)≤的解为≤x≤或－≤x≤－，由≤x－1≤得≤x≤，由－≤x－1≤－得≤x≤，故选A．解法2：当x∈[0，]时，由f(x)＝cosπx≤得x∈[，]，当x∈(＋∞)时，由f(x)＝2x－1≤，得x∈(，]，∴x∈[，]时f(x)≤，∵f(x)是偶函数，∴x∈[－，－]时，f(x)≤，而要使f(x19\n－1)≤，则x∈[，]∪[，]．[点评] 照顾到f(x)为偶函数，可以只讨论x≥0的部分，由对称性写出结论．11．(文)(2022·柳州市模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝lnx上，则|PQ|最小值为( )A．ln2B．C．1＋D．－1[答案] B[解析] 因为函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，所以它们的函数图象关于直线y＝x对称，要使|PQ|最小，则必有P，Q两点的切线斜率和y＝x的斜率相等，对于曲线y＝lnx，令y′＝＝1，得x＝1，故Q(1,0)．同理，对于曲线y＝ex，令y′＝ex＝1，得x＝0，所以P点坐标为(0,1)，综上，|PQ|最小值为＝，选B．(理)(2022·衡水中学三调)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A．B．C．D．[答案] B[解析] 由于抽取五个不同的数字，且数字5是这五个数的中位数，故数字5必在抽取的数中，因此抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝＝.12．(文)(2022·洛阳市质检)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．200πB．150πC．100πD．50π[答案] D19\n[解析] 由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥A－BCD，其外接球的直径为＝5，∴外接球的表面积为：S＝4π2＝50π.(理)(2022·中原名校联考)已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于( )A．8πB．12πC．16πD．20π[答案] D[解析] 设△PAD外接圆心为O1，则O1A＝r，O1P＝r，设O1P与AD相交于E.∵PA＝PD＝2，∠APD＝120°，∴AE＝DE＝，PE＝1，∴O1E＝r－1，由AE2＋O1E2＝O1A2，得r＝2，从而O1E＝1，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，设矩形ABCD外接圆心为O2，则O2E⊥平面PAD，设球心为O，则四边形OO1EO2为矩形，△OO2A为直角三角形，∵O2A＝AC＝＝2，OO2＝O1E＝1，∴球半径R＝OA＝，∴球面积S＝4πR2＝20π.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)(2022·柳州市模拟)数列{an}的通项公式an＝，它的前n项和为9，则n＝________.19\n[答案] 99[解析] an＝＝－，可得前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，所以－1＝9，则n＝99.(理)(2022·商丘市二模)若a＝∫0sin2xdx，则6展开式的常数项为________．[答案] 160[解析] a＝∫0sin2xdx＝0＝1，则6的展开式的常数项T4＝C(2x)33＝160.14．(2022·郑州市质检)已知点A(－1,1)、B(0,3)、C(3,4)，则向量在方向上的投影为________．[答案] 2[解析] ＝(1,2)，＝(4,3)，∴在方向上的投影为＝＝2.15．(文)(2022·济南市模拟)100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60,80)中的学生人数是________．[答案] 50[解析] 根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，解得a＝，所以测试成绩落在[60,80)中的频率是10(3a＋7a)＝100a＝100×＝，故对应的学生人数为100×＝50.19\n(理)(2022·青岛市诊断)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，已知P(100≤X≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．[答案] 8[解析] 由题意可知P(X>120)＝0.5－P(110≤X≤120)＝0.5－P(100≤X≤110)＝0.5－0.34＝0.16.故120分以上的人数为50×0.16＝8.16．(2022·长沙市模拟)已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，且F(x)＝f(x＋4)，函数F(x)的零点均在区间[a，b](a<b，a，b∈Z)内，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为________．[答案] π[分析] F(x)的图象可由f(x)的图象平移得到，故只要知道f(x)的零点，就能知道F(x)的零点，讨论f(x)的零点，由f(x)的表达式知需用导数研究f(x)的单调性．又圆x2＋y2＝b－a的面积最小，等价于b－a取最小值，结合b、a∈Z.利用导数可确定函数在R上是增函数，再利用零点存在性定理即可获解．[解析] 因为f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2022＝>0(x≠－1，x≠0)，又因为f′(－1)＝2022>0，f′(0)＝1>0，故f(x)在R上单调递增．因为f(0)＝1>0，f(－1)<0，所以f(x)的零点在[－1,0]内，F(x)的零点在[－5，－4]内，b－a的最小值为1，所以圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2022·梧州二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的外接圆直径为2，求a2＋b2的取值范围．[解析] (1)由＝得，sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sin(C－A)＝sin(B－C)，所以C－A＝B－C，即2C＝B＋A，得C＝.(2)由C＝，可设A＝－α，B＝＋α其中－<α<.所以a2＋b2＝(2RsinA)2＋(2RsinB)2＝4(sin2A＋sin2B)＝4＝4－2cos＋cos＝4＋2cos2α.19\n由－<α<得－<2α<，所以－<cos2α≤1，所以3<a2＋b2≤6.故a2＋b2的取值范围是(3,6]．18．(本题满分12分)(2022·新乡、平顶山、许昌调研)已知四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝2，且底面ABCD是边长为1的正方形．E是最短的侧棱PC上的动点．(1)求证：P、A、B、C、D五点在同一个球面上，并求该球的体积；(2)如果点F在线段BD上，DF＝3BF，EF∥平面PAB，求的值；(3)(理)在(2)的条件下，求二面角B－EF－C的余弦值．[解析] (1)解法一：设PA的中点为M，∵△PAC为直角三角形，PC＝2，AC＝，∴CM＝PM＝AM＝.设正方形ABCD的中心为点O，则OM∥PC，OM＝1且PC⊥底面ABCD，∴OM⊥底面ABCD，又O为BD的中点，∴BM＝DM＝＝，∴CM＝PM＝AM＝BM＝DM，故点P、A、B、C、D在以M为球心半径为的球上，且V球M＝π()3＝π.解法二：以PC、BC、CD为相邻棱补成长方体，则PA为长方体的对角线，∴长方体内接于以PA为直径的球，∴P、A、B、C、D在同一个球面上，球半径R＝＝，∴V球＝πR3＝π.(2)连接CF并延长交AB于K，连接PK.19\n∵EF∥面PAB，EF⊂面PCK，面PCK∩面PAB＝PK，∴EF∥PK.∵DF＝3BF，∵AB∥CD，∴CF＝3KF.∵EF∥PK，∴CE＝3PE，∴＝.(3)(理)以C为原点，、、所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C－xyz.则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，因为DF＝3BF，CE＝3PE，得E(0,0，)，F(，，0)，故＝(，，－)，＝(，－，0)，＝(，，0)．设n1＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，则n1·＝x＋y－z＝0，n1·＝x－y＝0.取x＝1，则＝(1,1，)．设n2＝(p，q，r)是平面CEF的法向量，则n2·＝p＋q－r＝0，n2·＝p＋q＝0.取p＝3，则n2＝(3，－1,0)，设向量n1、n2的夹角为θ，则cosθ＝＝.故二面角B－EF－C的余弦值为.[方法点拨] 运算过程要合理，计算要耐心细致19\n19．(本题满分12分)(文)(2022·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20222022202220222022时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程＝t＋；(2)用所求回归方程预测该地区2022年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程＝t＋中，＝，＝－.[分析] (1)列表分别计算出，，lnt＝－n2，lny＝iyi－n的值，然后代入＝求得，再代入＝－求出值，从而就可得到回归方程；(2)将t＝6代入回归方程中可预测该地区2022年的人民币储蓄存款．[解析] (1)列表计算如下itiyittiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.又lnt＝i－n2＝55－5×32＝10，lny＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12.从而＝＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2022年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．19\n(理)(2022·福建理，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．[分析] 考查(1)古典概型；(2)离散型随机变量的分布列和期望．(3)运算能力和分析解决问题的能力．(1)银行卡被锁定相当于三次尝试密码都错，求出基本事件数，然后用古典概型的概率计算公式求解；(2)列出随机变量X的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．[解析] (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为X123p所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.20．(本题满分12分)(2022·哈三中一模)若点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，经过点B(5，－2)的直线l与抛物线C交于P、Q两点．(1)求证：·为定值；(2)若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A(1,2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，所以4＝2p，有p＝2，那么抛物线C：y2＝4x若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝5，此时P(5，2)，Q(5，－2)，A(1,2)19\n·＝(－4,2－2)·(－4,2＋2)＝0若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－5)－2，(k≠0)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去x得，ky2－4y－4(5k＋2)＝0，∴·＝(1－x1,2－y1)·(1－x2,2－y2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2＋4－2(y1＋y2)＋y1y2＝1－＋＋4－2(y1＋y2)＋y1y2＝1－＋＋4－2(y1＋y2)＋y1y2＝0所以，·为定值．(2)若直线l的斜率不存在，直线l：x＝5，此时P(5,2)，Q(5，－2)，A(1,2)S△APQ＝×4×4＝8若直线l的斜率存在时，|PQ|＝＝·＝·点A(1,2)到直线l：y＝k(x－5)－2的距离h＝S△APQ＝·|PQ|·h＝8，令u＝(＋1)2，有u≥0，则S△APQ＝8没有最大值．21．(本题满分12分)(文)(2022·河南省高考适应性测试)已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝tf(x)－x在∪(1，e2]上有两个零点，求实数t的取值范围．19\n[解析] (1)因为f(x)＝，其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．f′(x)＝，由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，)(2)函数g(x)＝tf(x)－x在∪(1，e2]上有两个零点，等价于h(x)＝与y＝t在∪(1，e2]上有两个不同的交点．h′(x)＝，由h′(x)>0得0<x<e，由h′(x)<0得x>e，所以当x＝e时y＝h(x)有极大值，即最大值h(e)＝.又h＝－e，h(e2)＝，h(1)＝0且>0>－e，所以实数t的取值范围为.(理)(2022·兰州市诊断)设函数f(x)＝x2＋mln(x＋1)．(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围．(2)若m＝－1，试比较当x∈(0，＋∞)时，f(x)与x3的大小；(3)证明：对任意的正整数n，不等式e0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n)n2<成立．[解析] (1)∵f′(x)＝2x＋＝，又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，若f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m≥－2x2－2x＝－2(x＋)2＋在(－1，＋∞)上恒成立，由此可得m≥；若f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵x＋1>0，∴应有2x2＋2x＋m≤0在(－1，＋∞)上恒成立，这显然是不可能的．∴不存在实数m使f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[，＋∞)．(2)当m＝－1时，函数f(x)＝x2－ln(x＋1)．令g(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2－ln(x＋1)，则g′(x)＝－3x2＋2x－＝－，显然，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，19\n又g(0)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，恒有g(x)<g(0)＝0，即f(x)－x3<0恒成立．故当x∈(0，＋∞)时，f(x)<x3.(3)由(2)可知x2－x3<ln(x＋1)(x∈(0，＋∞))，∴e(1－x)x2<x＋1(x∈(0，＋∞))，∴e(1－n)n2<n＋1(n∈N*)，∴e0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n)n2<2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本题满分10分)(2022·昆明市质检)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G.(1)证明：B、C、D、G四点共圆；(2)过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH＝，OH＝，求CD·CA的值．[解析] (1)∵AD是直径，∴∠AGD＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠AGD＝∠BCA，∴B、C、D、G四点共圆．(2)∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，∴根据切割线定理得CP2＝CD·CA，∵∠CPO＝90°，PH⊥AD，∴根据射影定理得CP2＝CH·CO，19\n∵CH＝，CO＝CH＋OH＝＋＝5，∴CP2＝CH·CO＝×5＝16，∴CD·CA＝16.23．(本题满分10分)(2022·衡水中学三调)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：(t为参数)，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线？(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[解析] (1)∵ρ＝4cosθ.∴ρ2＝4ρcosθ，由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得x2＋y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆．(2)把代入x2＋y2＝4x.整理得t2－3t＋5＝0.设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝3，t1t2＝5.所以|PQ|＝|t1－t2|＝＝.24．(本题满分10分)(文)(2022·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．[分析] 考查绝对值不等式和柯西不等式及转化思想．(1)求解绝对值不等式，令解集与已知解集相等，即可求a，b；(2)由柯西不等式求解．[解析] (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则，解得a＝－3，b＝1.(2)＋＝＋≤＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.(理)(2022·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；19\n(2)求a2＋b2＋c2的最小值．[分析] 考查1.绝对值三角不等式；2.柯西不等式，推理论证能力及转化思想．(1)依据绝对值不等式的性质求解最小值；(2)利用柯西不等式求解．[解析] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，因为f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立．所以a2＋b2＋c2的最小值为.[方法点拨] 1.应用不等式的性质时，要注意限制条件．2．|a－b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是a·b≤0；|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是ab≥0；||a|－|b||≤|a－b|等号成立的条件是ab≥0.3．用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．19
