第3讲 平面向量一、选择题1.(2022·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向不相同时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B2.(2022·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.答案 D3.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝( )A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B(3，1)，A(2，0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案 B4.(2022·太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为( )A.B.C.D.解析 因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝5\n.答案 A5.(2022·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )A.20B.15C.9D.6解析 ＝＋，＝－＝－＋∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.答案 C二、填空题6.(2022·广州模拟)已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.解析 因为b⊥c，所以b·c＝0，又c＝ta＋(1－t)b，所以b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0.因为a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos60°＝3×3×＝，b2＝9.所以t＋9(1－t)＝0，解得t＝2.答案 27.(2022·郑州模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由＝2，得解得即M点坐标为(2，1)，5\n所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 ·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.答案 38.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).解析 由条件，得＝λ，从而·＝λ＝λ＝λ(－||＋||)＝0，得⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.答案 垂心三、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解 (1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，5\n即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.10.(2022·日照模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cosB＋sinB，2sinB－2)，q＝(sinB－cosB，1＋sinB)，且p⊥q.(1)求B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.解 (1)因为p⊥q，所以p·q＝(cosB＋sinB)(sinB－cosB)＋(2sinB－2)(1＋sinB)＝0，即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，即sin2B＝，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sinB＝，所以B＝60°.(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，所以S△ABC＝acsinB，即ac＝4.①由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝2，所以a2＋c2＝8，②联立①②，解得a＝c＝2.11.(2022·豫西名校期末)已知A，B是△ABC的两个内角，a＝cosi＋sinj(其中i，j是互相垂直的单位向量)，且|a|＝.(1)试问tanA·tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；(2)求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状.解 (1)因为|a|2＝2cos2＋sin2＝，5\n1＋cos(A＋B)＋＝，cosAcosB－sinAsinB－＝0；－＝0，所以tanAtanB＝(定值).(2)由(1)可知A，B为锐角，则tanA＞0，tanB＞0，tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－≤－3＝－.(当且仅当tanA＝tanB＝，“＝”成立)所以tanC的最大值为－，此时三角形的形状为等腰三角形.5
