第2讲 数列的通项与求和问题一、选择题1.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为( )A.n2＋1－B.n2＋2－C.n2＋1－D.n2＋2－解析 因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋1－.答案 A2.若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为( )A.1－B.－－C.－－D.－－解析 因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.答案 D3.已知a1＝1，an＋1＝，则an＝( )A.B.nC.D.解析 由an＋1＝得：－＝1(常数)，5\n又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝n，∴an＝.答案 A4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )A.2n－1B.C.D.解析 由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，∴＝，∵a1＝1，S1＝2a2，∴a2＝a1＝，∴S2＝，∴＝，∴Sn＝.答案 B5.(2022·衡水中学模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn解析 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案 A二、填空题6.(2022·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，5\n即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.答案 7.若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.答案 (－2)n－18.(2022·淄博模拟)数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.解析 当n＝1时，a1＝3×1＋1，所以a1＝12，当n≥2时，①：a1＋a2＋…＋an－1＋an＝3n＋1②：a1＋a2＋…＋an－1＝3(n－1)＋1.①－②得：an＝(3n＋1)－[3(n－1)＋1]，即an＝3，所以an＝3n＋1，综上可得：an＝答案 三、解答题5\n9.已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列，求数列{an}的通项公式.解 ∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，∴an＝×2n－1＝2n－2.10.(2022·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.又a1＋a4＝9.可解得或(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.11.(2022·福建卷)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；5\n(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.5
