专题能力训练12 数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2016=( ) A.2016B.-2016C.3024D.-3024答案：C解析：∵a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d===3,∴an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2014-a2013)+(a2016-a2015)=1008d=3024.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于( )A.B.C.D.答案：D解析：∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn===,T9=++…+=×=.3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=( )A.15B.17C.34D.398答案：C解析：∵Sn=n2-2n-1,∴a1=S1=12-2-1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]6\n=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.∴an=∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为( )A.305B.315C.325D.335答案：D解析：∵f(1)=,f(2)=+,f(3)=++,……,f(n)=+f(n-1),∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.∴S20=20×+×=335.5.已知数列{an},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列{an}的通项公式为( )A.an=-×,n∈N*B.an=+×,n∈N*C.an=D.an=1,n∈N*答案：A解析：因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n≥2.所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+++…+==-×.又当n=1时,an=-×=1,则an=-×,n∈N*.6\n6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m. 答案：2000解析：设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2000.当x=9或12时,S=20×102=2040;……当x=1或19时,S=3800.∴Smin=2000m.7.数列{an}满足an+1=,a11=2,则a1= . 答案：解析：由a11=2及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,….所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=.8.数列{an}满足a1+a2+…+an=2n+5,n∈N*,则an= . 答案：解析：在a1+a2+…+an=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a2+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=9.设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.解(1)由题意得则又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n≥3时,Tn=3+-=,6\n所以Tn=10.(2022全国Ⅱ,文17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②联立①和②解得(舍去),因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.11.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).(1)求an与bn;(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.解(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(n∈N*).(2)由(1)知anbn=n·2n,因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).二、思维提升训练6\n12.给出数列,,,,,,…,,,…,,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是( )A.4900B.4901C.5000D.5001答案：B解析：根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,……,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,……,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:,,,……,,,…,,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=+50=4901.13.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= . 答案：-解析：由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得-=1,即-=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴Sn=-.14.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.(1)证明由条件,对任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切n∈N*,an+2=3an.(2)解由(1)知,an≠0,所以=3,于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=,从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).综上所述,Sn=15.已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63.(1)求{an}的通项公式;6\n(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.解(1)设数列{an}的公比为q.由已知,有-=,解得q=2或q=-1.又由S6=a1·=63,知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+…+(-+)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.16.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=.所以,{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得Sn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.6
