第5讲 圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的综合问题例1 (12分)(2022·课标全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.规范解答解 (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.[2分]又e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.[5分](2)当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，[6分]将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.[7分]当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.[9分]设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，[11分]所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.[12分]评分细则8\n第(1)问得分点1.由直线的斜率，得出c值，得2分，列出关于c的方程，求解结果错误只得1分.2.由椭圆的离心率求得a值得2分，得出E的方程得1分.第(2)问得分点1.设出直线l的方程得1分，没有考虑斜率不存在，直接设出直线方程不得分.2.直线方程与椭圆方程联立，得出一元二次方程得1分，方程不正确，不得分.3.求出弦长给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分.4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数据，不给分.5.求出k值得2分，没有验证是否满足方程的判别式扣1分.6.写出直线l的方程得1分.第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a，b，c，e中某个值；第二步：求圆锥曲线方程；第三步：分析直线与圆锥曲线的关系，联立方程，得一元二次方程；第四步：由“Δ”或根与系数的关系，弦长公式等，寻找解决问题的思路；第五步：通过化简、运算，得出结果；第六步：回顾反思，查验问题的完备性.跟踪训练1 (2022·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论. 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (14分)(2022·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C8\n上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.规范解答解 (1)由题意知F(，0).设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0).因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).[2分]由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.[4分](2)①由(1)知F(1,0).设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0).因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.[6分]设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝＝，8\n可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0).由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1,0).当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0).[9分]②由①知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.[10分]设直线AE的方程为x＝my＋1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.设B(x1，y1).直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝＝＝4.[12分]则△ABE的面积S＝×4≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.[14分]评分细则第(1)问得分点1.求出t的值，得2分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分.8\n2.得出抛物线方程得2分.第(2)问得分点1.写出直线l1在y轴上的截距得2分.2.得出直线AE过定点得3分，只考虑当y≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y＝4且得出此时直线AE过定点，只能得1分.3.求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分.4.正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分.5.求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点；第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练2 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.(1)求椭圆E的方程； (2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.8\n 8\n答案精析第5讲 圆锥曲线跟踪训练1 解 (1)由题意得，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±，圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)．即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝.又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．跟踪训练2 解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得解得8\n所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，所以·＝－m·＋m2－＝.因为对于任意的k值，·为定值，所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.所以M，此时，·＝－.②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，由m＝，得·＝－.综上，符合条件的点M存在，且坐标为.8
