第4讲 数列问题题型一 数列通项与求和例1 (12分)(2022·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1·bn＝0.(1)令cn＝，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.规范解答解 (1)因为bn≠0，所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，得－＋2＝0，[2分]即－＝2，[3分]所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝＝1为首项，2为公差的等差数列，[5分]所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[6分](2)因为bn＝3n－1，cn＝2n－1.所以an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.[7分]所以Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，[9分]作差得：－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n＝－2－(2n－2)3n，[11分]所以Sn＝(n－1)3n＋1.[12分]评分细则第(1)问得分点1.利用已知条件合理转化得2分.2.写成等差数列定义形式得1分.3.得出其首项、公差进而写出通项得3分.第(2)问得分点1.由bn＝3n＋1，cn＝2n－1，得到{an}的通项得1分.6\n2.在等式两端同乘以3给2分.3.错位相减给1分.4.错位相减后求和正确得2分.5.最后结果整理得1分.第一步：由已知条件确定{an}是等差数列还是等比数列；第二步：由等差数列或等比数列通项公式求得{an}的通项公式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论.跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn. 题型二 数列与函数、不等式的综合问题6\n例2 (12分)(2022·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*).若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；(2)设cn＝－(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.规范解答解 (1)由题意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝＝()6＝8.[2分]又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)，[4分]所以，a1a2a3…an＝＝()n(n＋1).故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*).[6分](2)①由(1)知cn＝－＝－＝－(n∈N*)，Sn＝－(1－＋－＋…＋－)，所以Sn＝－(n∈N*).[8分]②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，[9分]当n≥5时，cn＝，而－＝>0，得≤<1，所以，当n≥5时，cn<0.[11分]综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.[12分]评分细则6\n第(1)问得分点1.利用已知条件得到a3＝8得2分；得出b2，b3的关系式也给1分.2.解对an＝2n得2分，求出q可得1分，但q＝－2不舍去不得分.3.解出bn得2分.第(2)问得分点1.裂项得1分，求和写出正确结果得1分，不管过程有无.2.验算前4项给1分.3.验算后给出最后结果给2分.4.证明方式不唯一，只要论证合理，同样得分.第一步：由已知条件和数列性质求基本量，确定数列的特性(等差或等比数列)；第二步：求出an或Sn的通项公式；第三步：分析an，Sn涉及的函数或不等式，利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题；第四步：得出结果，叙述完整；第五步：回顾反思.查验“n”的取值是否符合要求，运算过程是否有不当之处.跟踪训练2 已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？ 6\n答案精析第4讲 数列问题跟踪训练1 解 (1)当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)因为bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.跟踪训练2 解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.又数列{an}是等比数列，∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.又公比q＝＝，∴an＝－·n－1＝－2·n(n∈N*)．∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)6\n＝＋(n≥2)．又bn>0，>0，∴－＝1.∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×＋×＋×＋…＋×＝×＝.由Tn＝>，得n>，∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.6
