第17练 三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.常考题型精析题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1 已知tanα＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值. 点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα14\n”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.变式训练1 (2022·福建)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )A.B.－C.D.－题型二 利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2 (1)化简：；(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－570°)＋tan120°·tan1050°. 点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练2 (1)(2022·四川)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________.14\n(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.题型三 利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例3 (1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°(－tan5°). (3)设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________.点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.14\n变式训练3 (1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为____________.(2)的值是( )A.B.C.D.高考题型精练1.(2022·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知sin＝，那么cosα等于( )A.－B.－C.D.3.若tan＝，且－<α<0，则等于( )A.－B.C.－D.4.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg5)，b＝f(lg)，则( )A.a＋b＝0B.a－b＝0C.a＋b＝1D.a－b＝15.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )A.B.－C.D.－6.(2022·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )A.3α－β＝B.2α－β＝14\nC.3α＋β＝D.2α＋β＝7.(2022·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________.8.计算：＝________.9.(2022·咸阳模拟)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.10.(2022·广东)已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值. 14\n11.已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f. 12.(2022·江苏)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值. 答案精析专题4三角函数与平面向量第17练 三角函数的化简与求值常考题型精析14\n例1 解 (1)方法一 ∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝.方法二 由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝.变式训练1D解析 ∵sinα＝－，且α为第四象限角，∴cosα＝，∴tanα＝＝－，故选D.例2 解 (1)方法一 原式＝＝＝＝＝－·＝－1.方法二 原式＝14\n＝＝＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－＋＋1＝.变式训练2 答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝＝，∴原式＝＝－1.(2)cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.例3 解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0.因此＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)(sin－cos)＝(2sincos＋2cos2)(sin－cos)14\n＝2cos(sin2－cos2)＝－2coscosθ.故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝－sin10°(－)＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.(3)±解析 f(x)＝＋sinx＋a2sin＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.变式训练3 (1) (2)C解析 (1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，所以tan＋tan＋tantan14\n＝tan＋tantan＝＋tantan＝.(2)原式＝＝＝＝.高考题型精练1.A[∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinαsinα＝cosα，故选A.]2.C[sin＝cosα＝.]3.A[由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.]4.C[a＝f(lg5)＝sin2(lg5＋)＝＝，b＝f(lg)＝sin2(lg＋)＝＝，则可得a＋b＝1.]5.C[∵cos＝，0<α<，14\n∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.]6.B[方法一 由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α).∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.方法二 ∵tanα＝＝＝＝tan(＋)，∴α＝kπ＋(＋)，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.]7.3[∵tanα＝－2，14\n∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.]8.－4解析 原式＝＝＝＝＝＝－4.9.解析 ∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.10.解 (1)tan＝＝＝＝－3.(2)＝14\n＝＝＝＝1.11.解 (1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin.所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.12.解 (1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα14\n＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.14
