第1讲 空间几何体1．(2022·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A．21＋B．18＋C．21D．182．(2022·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.C.D．2π3．(2022·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )17\nA．14斛B．22斛C．36斛D．66斛4．(2022·江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1 (1)(2022·课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )17\n思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．跟踪演练1 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)(2022·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )17\nA．2＋B．4＋C．2＋2D．5(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为( )A．66B．68C．70D．72思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2 (2022·四川)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3 (1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )A．4πB．12πC．16πD．64π(2)(2022·课标全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π17\n思维升华 三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A．16B．8＋8C．2＋2＋8D．4＋4＋82．如图，将边长为5＋的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是( )A.πB.πC.πD.π3．(2022·临汾一中测试)在正三棱锥S－ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( )A．6πB．12πC．32πD．36π提醒：完成作业 专题五 第1讲17\n二轮专题强化练专题五第1讲 空间几何体A组 专题通关1．(2022·哈尔滨模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A．2B.C.D．32．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为( )A．2B.C.D.3．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图如图所示．当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )17\nA．8B．8＋8C．8D．4＋84．(2022·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )A．1B．2C．4D．85．三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为( )A.πB.πC．3πD．12π6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．7．(2022·山东)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．17\n10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.B组 能力提高11．(2022·湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)( )A. B.C. D.12．如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．13．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．14．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F17\n，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．17\n学生用书答案精析专题五 立体几何与空间向量第1讲 空间几何体高考真题体验1．A [由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×(4－)＋2××()2＝21＋.故选A.]2．C [过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.]3．B [由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝×πR2·h＝(立方尺)．所以堆放的米大约为≈22(斛)．]4.解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.热点分类突破例1 (1)B (2)B解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.17\n(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．跟踪演练1 (1)D (2)D解析 (1)由俯视图，易知答案为D.(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.例2 (1)C (2)A解析 (1)该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.跟踪演练2 解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵，又∵AA1∥平面PMN，∴＝VA-PMN，∴VA-PMN＝××1××＝，故＝.例3 (1)C (2)C17\n解析 (1)在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，∴球O的直径＝＝4，故球O的表面积为4π×22＝16π.(2)如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO-ABC最大＝VC-OAB最大＝S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π，选C.跟踪演练3 π解析 如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．据题意解得∴长方体的对角线长为＝，∴三棱锥外接球的半径为.∴三棱锥外接球的体积为V＝π·()3＝π.高考押题精练1．D [由三视图知，该几何体是底面边长为＝2的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BC⊥PC，BA⊥PA，又PC＝＝＝2，所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2，S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2.17\n所以几何体的表面积为4＋4＋8.]2．A [设圆锥底面半径为R＝MO，底面周长＝2πR＝弧长FE＝×2πAM，AM＝4R，OC＝R，AC＝AM＋MO＋OC＝(5＋)·R，正方形边长＝5＋＝AC，即5＋＝(5＋)R，R＝，AM＝4，h＝＝，V＝πR2h＝π×2×＝.]3．B [因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.]17\n二轮专题强化练答案精析专题五 立体几何与空间向量第1讲 空间几何体1．D [根据三视图判断几何体为四棱锥(如图)，其直观图是：∴V＝××2×x＝3，∴x＝3.]2．D [多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.]3．B [由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其正视图与侧视图相同，设棱锥的高为h，则a2＋h2＝4.故其正视图的面积为S＝·2a·h＝ah≤＝2，即当a＝h＝时，S最大，此时该正四棱锥的表面积S表＝(2a)2＋4××2a×2＝8＋8，故选B.]4．B [由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解．如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.]5．C [如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．17\n由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：SB＝，SC＝，所以球的半径R＝，所以球的表面积为4π×()2＝3π.]6．2＋解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.由此可还原原图形如图．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×(1＋1＋)×2＝2＋.7．12解析 设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.8.解析 ＝·AB＝××1×1×1＝.9.＋17\n解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．所以，S＝××2π×2＋×π×12＋×2×＝＋.10．解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝＝5.因此S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.11．A [设三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，上、下底面中心分别为O1，O2，上方截得的小圆锥的高为h，底面半径为r，则a2＋b2＝4r2.由三角形相似，得＝，即＝，则h＝2r.长方体的体积为V＝abc＝ab(2－2r)≤×(2－2r)＝2r2(2－2r)＝4r2－4r3(当且仅当a＝b时取等号，且0<r<1)．设y＝4r2－4r3(0<r<1)，则y′＝8r－12r2.由y′＝0，得r＝0或r＝.由y′>0，得0<r<.由y′<0，得<r<1.故当r＝时，ymax＝4×2－4×3＝，即Vmax＝.∴原工件材料的利用率为＝，故选A.]12．6解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.17\n13．16π解析 设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.14．(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴EF⊥PB.(2)解 设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB＝xy≤2＝1.当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．此时，BE＝PE＝2.由(1)知EF⊥平面PBE，∴平面PBE⊥平面EFCB，在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P—EFCB的高．又PO＝PE·sin30°＝2×＝1.SEFCB＝×(2＋4)×2＝6.∴VP—BCFE＝×6×1＝2.17
