第六章 不等式26．不等式的性质及不等式的解法1．(2022·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A．[－3，1]B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2022·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·江苏)不等式2x2－x＜4的解集为________．4．(2022·四川)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16B．18C．25D.考点1 不等式的性质1．(2022·四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A.>B.<C.>D.<2．(2022·北京)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·山东)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.>B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C．sinx＞sinyD．x3＞y34．(2022·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>95．(2022·浙江)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点2 解不等式49\n6．(2022·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )A.B.C.D.7．(2022·大纲全国)不等式组的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}8．(2022·广东)不等式x2＋x－2＜0的解集为________．9．(2022·湖南)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．10．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．11．(2022·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．12．(2022·浙江)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．13．(2022·安徽)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为( )A．{x|x＜－1，或x＞－lg2}B．{x|－1＜x＜－lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}14．(2022·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )A．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－1615．(2022·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．49\n16．(2022·湖北)设a＞0，b＞0，已知函数f(x)＝.(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．①判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明f≤f；②a，b的几何平均数记为G.称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．49\n1．(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于( )A．(－1，0)B．(－1，1)C．(0，1)D．(1，3)2．(2022·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )A．a2<b2B.>C．|a|<|b|D．2a>2b3．(2022·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q4．(2022·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A．a<0或a>4B．0<a<2C．0<a<4D．0<a<85．(2022·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是( )A．lna>lnbB．0.3a>0.3bC．a>bD.>6．(2022·汕头检测)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a7．(2022·金版原创)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A．a＋>b＋B.>C．a－>b－D.>8．(2022·湖北利川模拟)设p:|2x＋1|>a.q：>0.使得p是q的必要但不充分条件的实数a的取值范围是( )A．(－∞，0)B．(－∞，－2]C．[－2，3]D．[3，＋∞)9．(2022·四川模拟)设k∈R，若关于x方程x2－kx＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围为( )A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.C．(1，3)D．(－∞，2)∪10．(2022·常州质检)已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是( )A．a<－或a>1B．－<a<149\nC．－<a≤1或a＝－1D．－<a≤111．(2022·威海一模)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}12．(2022·云南省玉溪一中模拟)关于x的不等式≥0的解为－1≤x<2或x≥3，则点P(a＋b，c)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．(2022·云南省玉溪一中月考)对于满足0≤a≤4的实数a，使x2＋ax>4x＋a－3恒成立的x取值范围是________．14．(2022·山东省实验中学模拟)若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围________．15．(2022·天津市耀华中学模拟)若关于x的不等式x2＋x－≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________；16．(2022·枣庄三中模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)<0的解集为________．17．(2022·江西师大模拟)若不等式ax2－3x＋5>0的解集为{x|m<x<1}，则实数m＝________．18．(2022·北京市东城区模拟)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.19．(2022·安徽巢湖模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．20．(2022·浙江余姚模拟)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．49\n49\n27.二元一次不等式(组)与简单的线性规划1．(2022·福建)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( )A．－B．－2C．－D．22．(2022·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )A．3B．2C．－2D．－33．(2022·新课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．4．(2022·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为( )A.B.C．12D．165．(2022·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3B．1C.D．36．(2022·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域49\n1．(2022·安徽)不等式组表示的平面区域的面积为________．2．(2022·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．3．(2022·安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A．2B．2C．4D．44．(2022·北京)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )A.B.C.D.考点2 利用线性规划求最值5．(2022·课标全国Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )A．10B．8C．3D．26．(2022·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )A．2B．3C．4D．57．(2022·山东)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )A．5B．4C.D．28．(2022·湖北)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．(2022·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组49\n所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A．2B．1C．－D.－10．(2022·福建)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )A．5B．29C．37D．4911．(2022·江苏)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．12．(2022·陕西)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．考点3 利用简单的线性规划求参数的值(范围)13．(2022·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B．2或C．2或1D．2或－114．(2022·北京)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )A．2B．－2C.D．－15．(2022·广东)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )A．5B．6C．7D．816．(2022·课标全国Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )A.B.C．1D．217．(2022·四川)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )A．48B．30C．24D．1649\n18．(2022·课标全国Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1，其中的真命题是( )A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p319．(2022·浙江)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．20．(2022·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.21．(2022·大纲全国)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．22．(2022·广东)给定区域D:令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．1．(2022·河南郑州模拟)如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A．1B．2C．3D．42．(2022·江南十校模拟)已知点A(－2，0)，点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是( )A．5B．3C．2D.3．(2022·江西重点中学模拟)实数x，y满足，若t≤y＋2x恒成立，则t的取值范围是( )A．t≤13B．t≤－5C．t≤－13D．t≤54．(2022·德州一模)已知变量x，y满足约束条件若x＋2y≥－5恒成立，49\n则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)C．[－1，1]D．[－1，1)5．(2022·江西赣县模拟)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，则ab的最大值为( )A．1B．2C．3D．46．(2022·辽宁师大附中模拟)已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )A.B．[0，5]C．[0，5)D.7．(2022·北京西城模拟)设不等式组表示的平面区域为D.则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A．1B.C.D．58．(2022·黑龙江绥化模拟)已知关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a＋2b＋1＝0的两个实根分别为x1，x2，且0<x1<1，x2>1，则的取值范围是________．9．(2022·湖北八校模拟)已知直线l：x＝my＋n(n>0)过点A(5，5)，若可行域的外接圆直径为20，则n＝________．10．(2022·山东菏泽一模)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．11．(2022·河北衡水模拟)已知实数x、y满足则z＝|x＋3y|的最小值________．12．(2022·江西重点中学模拟)设不等式组所表示的平面区域为D.若圆C落在区域D中，则圆C的半径r的最大值为________．13．(2022·威海一模)设x，y满足约束条件49\n则M(x，y)所在平面区域的面积为________．14．(2022·潍坊一模)若x、y满足条件则z＝x＋3y的最大值为________．15．(2022·北京西城一模)若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．16．(2022·烟台一模)若实数x，y满足则z＝y－x的最小值是________．17．(2022·浙江余姚模拟)已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a的取值范围为________．18．(2022·北京朝阳模拟)已知x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(2，0)处取得最大值，则a的取值范围是________．19．(2022·北京市东城区模拟)已知x，y满足不等式组当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]20．(2022·广东六校联盟模拟)寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划的同学从事项目①，的同学从事项目②，最后的同学从事项目③；乙组计划的同学从事项目①，另的同学从事项目②，最后的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？21．(2022·山东省烟台模拟)已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0，1)，β∈(1，2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.49\n49\n28.基本不等式1．(2022·福建)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2B．3C．4D．52．(2022·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．3．(2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．考点1 利用基本不等式求最值(值域)1．(2022·重庆)(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9B.C．3D.2．(2022·福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]3．(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋44．(2022·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )A．0B．1C.D．35．(2022·辽宁)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．6．(2022·四川)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．7．(2022·天津)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．8．(2022·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．考点2 不等式中恒成立的问题9．(2022·浙江)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________．49\n10．(2022·重庆)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．11．(2022·辽宁)(1)证明：当x∈[0，1]时，x≤sinx≤x；(2)若不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．49\n12.(2022·辽宁)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcosx．当x∈[0，1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．考点3 基本不等式在实际中的应用13．(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．(2022·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)15．(2022·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 1．(2022·江西师大模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3B．4C.D.2．(2022·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A．a＋b>2B．(a－b)＋≥249\nC．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋caD．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|3．(2022·商丘模拟)若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )A．12B．2C．3D．64．(2022·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )A．2B．4C．8D．165．(2022·北京市丰台区模拟)“x>0”是“x＋≥2”的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2022·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3000B．3300C．3500D．40007．(2022·山东省师大附中模拟)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )A.B.C．5D.68．(2022·北京市东城区模拟)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．9．(2022·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a<b，则a2<b2；②若a≥b>－1，则≥；③若正整数m、n满足m<n，则≤；④若x>0，则lnx＋≥2.其中正确命题的序号是________．10．(2022·潍坊一模)若α∈，则的最大值为________．11．(2022·山东省青岛模拟)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最大值为________．12．(2022·山东德州模拟)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为________．13．(2022·潍坊一模)已知a>b>0，ab＝1，则的最小值为________．14．(2022·金版原创)规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b49\n为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．15．(2022·鹤岗模拟)若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．16．(2022·湖北省荆门模拟)设x∈R,对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界.若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )A．－5B．－4C.D.－17．(2022·日照模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围________．18．(2022·江苏省盐城模拟)已知x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，＋的最小值为16，则n的值为________．19．(2022·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．49\n49\n20.(2022·山东省日照模拟)已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4，或x<1}．(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1,f(x)＝＋，求f(x)的最小值．21．(2022·浙江宁波模拟)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且asinA＋(a＋b)sinB＝csinC.(1)求角C；(2)若c＝1，求△ABC的周长l的取值范围．49\n第六章 不等式26．不等式的性质及不等式的解法【三年高考真题演练】[2022年高考真题]1．D [需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒/1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.]4．B [令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，当m＞2时，对称轴x0＝－，由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－≤，即2n＋m≤18，∵≤≤9，∴mn≤，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.][两年经典高考真题]1．D [∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴0<<.即>>0.又∵a>b>0，∴>，∴<.]2．D [当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.]3．D [由ax<ay(0<a<1)，可得x>y，又因为函数f(x)＝x3在R上递增，所以f(x)>f(y)，即x3>y3.]4．C 5.C 6.A49\n7．C [由①得，x<－2或x>0，由②得，－1<x<1，因此原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.]8．{x|－2<x<1} [x2＋x－2<0即(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1，故原不等式的解集为{x|－2<x<1}．]9．－3 [由|ax－2|<3，得－1<ax<5.若a≥0，显然不符合题意，当a<0时，解得<x<－，故－＝，＝－，解得a＝－3.]10. [根据题意，得解得－<m<0.]11．(－∞，] [由题意得或即或解得a≤.]12. [由a＋b＋c＝0可得c＝－(a＋b)．又a2＋b2＋c2＝1，所以a2＋b2＋[－(a＋b)]2＝1，整理得2b2＋2ab＋2a2－1＝0.又由a2＋b2＋c2＝1易知0≤b2≤1，－1≤b≤1，因此关于b的方程2b2＋2ab＋2a2－1＝0在[－1，1]上有解，所以解得a≤，即a的最大值是.]13．D [由题意知－1<10x<，所以x<lg＝－lg2，故选D.]14．B [∵f(x)－g(x)＝2x2－4ax＋2a2－8＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，∴H1(x)＝H2(x)＝可求得H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝－4a＋12，49\n∴A－B＝－16.故选B.]15．解 (1)生产该产品2小时的利润为100×2＝200.由题意，200≥3000，解得x≤－或x≥3.又1≤x≤10，所以3≤x≤10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是小时，获得利润为100·＝90000，1≤x≤10.记f(x)＝－＋＋5，1≤x≤10，则f(x)＝－3＋＋5，当且仅当x＝6时取到最大值．最大利润为90000×＝457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．16．解 (1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f′(x)＝＝.当a>b时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)①计算得f(1)＝>0，f＝>0，f＝>0，故f(1)f＝·＝ab＝，即f(1)f＝，(*)所以f(1)，f，f成等比数列．因≥，即f(1)≥f，由(*)得f≤f.②由①知f＝H，f＝G.49\n故由H≤f(x)≤G，得f≤f(x)≤f.(**)当a＝b时，f＝f(x)＝f＝a.这时，x的取值范围为(0，＋∞)；当a>b时，0<<1，从而<，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与(**)式，得≤x≤，即x的取值范围为；当a<b时，>1，从而>，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，得≤x≤，即x的取值范围为.【两年模拟试题精练】1．C [因为，M＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，N＝{x|log2x<0}＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝{x|0<x<1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p－q＝＋－a－b＝≤0，所以p≤q，则选B.]4．B [因为不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分条件是Δ＝a2－4a<0，即0<a<4，所以不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是0<a<2，故选B.]5．D6．D [∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.]7．A [取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，这样，a－>b－⇔a＋>b＋.]8．A [设|2x＋1|>a的解集为A，>0的解集为B＝，因为p是q的必要但不充分条件，所以B⊆A，然后利用排除法选A；]49\n9．B [令f(x)＝x2－kx＋1，因为方程x2－kx＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以即k∈.]10．D [①当a＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立，故a＝1符合题意．②当a＝－1时，原不等式化为2x－1<0，不恒成立，∴a＝－1不合题意．③当a2－1≠0时，依题意，有解得－<a<1.综合①②③可知，a的取值范围是－<a≤1.]11．C [由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C]．12．A [由不等式的解集可知，－1，3是方程的两个根，且c＝2，不妨设a＝－1，b＝3，所以a＋b＝2，即点P(a＋b，c)的坐标为(2，2)，位于第一象限，选A.]13．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [原不等式等价为x2＋ax－4x－a＋3>0，即x2＋ax－4x－a＋3>0，所以a(x－1)＋x2－4x＋3>0，令f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3，则函数f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3表示直线，所以要使f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3>0，则有f(0)>0，f(4)>0，即x2－4x＋3>0，且x2－1>0，解得x>3或x<－1，即不等式的解为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]14．[－3，2) [由得要使解集中只有一个整数－2，则由(x＋k)(2x＋5)<0可知，不等式(x＋k)(2x＋5)<0解得－<x<－k，且－2<－k≤3，即－3≤k<2，所以k的取值范围是[－3，2)．]15．(－∞，－1]16．(－∞，1) [若x>0，由f(x)<0得x2－1<0，解得0<x<1.若x≤0，由f(x)<0得－|x＋1|<0，解得x≤0，综上不等式的解为x<1，即不等式的解集为(－∞，1)．]17．－ [因为不等式ax2－3x＋5>0的解集为{x|m<x<1}，所以a－3＋5＝0，得a49\n＝－2，由－2x2－3x＋5＝0解得x＝1或x＝－，所以m＝－.]18．①③⑤ [对于命题①由2＝a＋b≥2，得ab≤1，命题①正确；对于命题②令a＝b＝1时，不成立，所以命题②错误；对于命题③a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；对于命题④令a＝b＝1时，不成立，所以命题④错误；对于命题⑤＋＝＝≥2，命题⑤正确．所以正确的结论为①，③，⑤.]19．解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0，1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.20．解 (1)已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，所以即(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0即(x－2)(x－c)<0所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2}当c＝2时，所求不等式的解集为∅.27．二元一次不等式(组)与简单的线性规划【三年高考真题演练】[2022年高考真题]1．A [49\n如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2，0)，由得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]3．3 [约束条件的可行域如下图，由＝，则最大值为3.]4．A [xy＝×2xy≤≤＝，当且仅当x＝，y＝5时，等号成立，把x＝，y＝5代入约束条件，满足．故xy的最大值为.]5．B [49\n不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，C点横坐标xC＝－2m，∴S＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.]6．D [设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值．由得A(2，3)．则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．][两年经典高考真题]1．42.3．D [以，为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知||＝||＝·＝2，可得出∠AOB＝60°，点A(，1)，点B(，－1)，点D(2，0)．现设P(x，y)，则由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(，1)＋μ(，－1)，即49\n由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，可得画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为2×2＝4.]4．C [图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝x－1下方，也就是m<－m－1，即m<－.故选C.]5．B [线性目标函数z＝2x－y满足的可行域如图所示．将直线l0：y＝2x平行移动，当直线l0经过点M(5，2)时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，也就是z取最大值，此时zmax＝2×5－2＝8.]6．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，作直线l：y＝－x，平移l，由图形可知当l经过可行域中的点A(1，1)时，z取最小值，且zmin＝1＋2×1＝3，故选B.]49\n7．B [约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a＋b＝2，则b＝2－2a，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8＋20＝5＋4，即当a＝，b＝时，a2＋b2有最小值4.]8．C [设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足设租金为z，则z＝1600x＋2400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36800，故选C.]9．C [不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M位于C点时OM斜率最小，且为－，故选C.]10．C [由题意，画出可行域Ω，圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，所以b＝1.49\n所以圆心在直线y＝1上，求得与直线x－y＋3＝0，x＋y－7＝0的两交点坐标分别为A(－2，1)，B(6，1)，所以a∈[－2，6]．所以a2＋b2＝a2＋1∈[1，37]，所以a2＋b2的最大值为37.故选C.]11. [由题意可知抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y＝2x－1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x＋2y＝0平移到过点A时，x＋2y取得最大值.当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.因此所求的x＋2y的取值范围为.]12．－4 [由y＝|x－1|＝及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1，2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.]13．D 14.D15．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，由图形可知，当l0经过可行域内的点A(2，－1)时，z取最大值，即m＝2×2＋(－1)＝3；当l0经过可行域内的点B(－1，－1)时，z取最小值，即n＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m－n＝3－(－3)＝6.故选B.]49\n16．B [由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝.]17．C18．B [画出可行域如图阴影部分所示．作直线l0：y＝－x，平移l0，当直线经过A(2，－1)时，x＋2y取最小值，此时(x＋2y)min＝0.故p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2为真．p2:∃(x，y)∈D，x＋2y≥2为真．故选B.]19. [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.要使1≤z≤4恒成立，则a>0.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1，0)，B(2，1)处取得．49\n故由1≤z≤4恒成立，可得]20．2 [画出可行域如图所示．由可行域知，最优解可能在A(0，2)或C(4，4)处取得．若在A(0，2)处取得不符合题意；若在C(4，4)处取得，则4k＋4＝12，解得k＝2，此时符合题意．]21. [作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1，0)，由图并结合题意可知kBC＝，kAC＝4，∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，则≤a≤4.]22．6 [由区域D：画出可行域如图所示．满足条件的(x0，y0)有(0，1)，(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的点共确定6条不同的直线．]【两年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A(1，2)，B(1，－1)，C(3，0)∵目标函数z＝kx－y的最小值为0，∴目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B49\n时取得；∴①若在A上取得，则k－2＝0，则k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；②若在B上取得，则k＋1＝0，则k＝－1，此时，z＝－x－y，在B点取得的应是最大值，故不成立，∴k＝2，故答案为B.]2．D [不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x＋y－2＝0的距离，即|AM|min＝＝.]3．B [不等式组等价于或画出不等式组表示的平面区域，得到z＝y＋2x的最小值为－5，故t≤－5.]4．C [作出满足约束条件的可行域，如图△ABC内部(含边界)，由此可见，必有a≤1，作出直线x＋2y＝－5，由题设△ABC必定在直线x＋2y＝－5的上面，当点A在直线x＋2y＝－5时，a＝－1，所以－1≤a≤1，选C.]49\n5．D [由题意作出其平面区域，则由目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，a＋4b＝8，则由a·4b≤得，ab≤4，(当且仅当a＝4，b＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件作出可行域如图，联立解得∴A(2，－1)，联立，解得∴B.令u＝2x－2y－1，则y＝x－－，由图可知，当y＝x－－经过点A(2，－1)时，直线y＝x－－在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u＝2×2－2×(－1)－1＝5；49\n当y＝x－－经过点B时，直线y＝x－－在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u＝2×－2×－1＝－，∴－≤u<5，∴z＝|u|∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x＋y－1＝0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离最小，最小值为原点到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，故选B.]8.9．1010. [不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，必须使点A位于直线x－2y－2＝0的右下侧，所以，m－2(－m)－2>0，∴m>，所以，答案填：.]49\n11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x＋3y|＝×，其中表示可行域内的点到直线x＋3y＝0的距离，易知B(3，1)到直线x＋3y＝0的距离最小为＝，所以|x＋3y|的最小值为6.]12．1 [画出平面区域D，可得到一个直角三角形，要使圆C的半径r最大，只要圆C和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r的最大值为1.]13．e2－2 [画出对应的平面区域，如图所示．M(x，y)所在平面区域的面积为exdx－S△AOB＝ex－×2×1＝e2－e0－1＝e2－2.]14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z＝x＋3y得：y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距为的一组平行直线，并且在y轴上的截距越大则z越大；由图可知，当直线经过点A时，截距最大；解方程组49\n，得所以当时，z取得最大值：11故答案应填：11.]15．(3，5)16．－3 [画出可行域及直线y－x＝0，如图所示.平移直线y－x＝0，当其经过点A(2，－1)时，zmin＝－1－2＝－3.]17. [作出不等式对应的平面区域，如图所示，当a＝0时，z＝x，即x＝z，此时不成立．由z＝x＋ay得y＝－x＋要使目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点(2，2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y＝－x＋的下方，即目标函数的斜率k＝－，满足k＞kAC，即－＞－3，∵a＞0，∴a＞，即a的取值范围为，故答案为：.]18. [作出不等式对应的平面区域，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k＝－a＜0，要使目标函数z＝ax＋y仅在点A(2，0)处取得最大值，则此时－a≤kAB＝－，即a＞，故答案为：.]49\n19．D20．解 设甲组x名同学，乙组y名同学，根据题意有：整理得：可行域如图：参加活动的总人数z＝x＋y，变形为y＝－x＋z，当经过可行域内的点，斜率为－1的直线在y轴上截距最大时，目标函数z＝x＋y取得最大值．由可行域图象可知，直线y＝－x＋z经过5x＋4y＝200和5x＋12y＝360的变点A时，在y轴上的截距最大．解方程组得：x＝24，y＝20，所以zmax＝x＋y＝24＋20＝44，答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人．21．解 由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知，α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，49\n且α∈(0，1)，β∈(1，2)，因此得到可行域即画出可行域如图．联立得所以S＝.28．基本不等式【三年高考真题演练】[2022年高考真题]1．C [由题意＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时，取等号．故选C.]2. [由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．]3．3 [∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.][两年经典高考真题]1．B [∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥2，即9≥2，∴≤，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号．]2．D [∵2x＋2y＝1≥2，∴≥2x＋y，即2x＋y≤2－2.∴x＋y≤－2.]49\n3．D [由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号．故选D.]4．B [由x2－3xy＋4y2－z＝0得＝1≥，即≤1，当且仅当x2＝4y2时成立，又x，y为正实数，故x＝2y.此时将x＝2y代入x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝2y2，所以＋－＝－＋＝－＋1，当＝1，即y＝1时，＋－取得最大值为1，故选B.]5．－26．36 [由基本不等式可得4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时等号成立，∴＝3，a＝36.]7．－2 [因为a＋b＝2，所以1＝，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当a>0时，＋1＝，＋≥；当a<0时，＋1＝，＋≥，当且仅当b＝2|a|时等号成立．因为b>0，所以原式取最小值时b＝－2a.又a＋b＝2，所以a＝－2时，原式取得最小值．]8. [由sinA＋sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋b＝2c.故cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．49\n所以cosC的最小值为.]9．－1 [令x＝1，得0≤1－1＋a＋b≤0，整理，得a＋b＝0，①令x＝－1，得0≤1－(－1)－a＋b≤0，整理，得a－b＝2，②解①②组成的方程组，得∴ab＝－1.]10.∪ [不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则有Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α＝64sin2α－32cos2α≤0，即2sin2α－cos2α＝2sin2α－(1－2sin2α)＝4sin2α－1≤0.∴sin2α≤.∴－≤sinα≤.又0≤α≤π，结合下图可知，α∈∪.]11．(1)证明 记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－.当x∈时，F′(x)>0，F(x)在上是增函数；当x∈时，F′(x)<0，F(x)在上是减函数．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥x.记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cosx－1<0，所以，H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，x≤sinx≤x，x∈[0，1]．(2)解 因为当x∈[0，1]时，ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－449\n＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2≤(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)＝(a＋2)x.所以，当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立．下面证明，当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．因为当x∈[0，1]时，ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2≥(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)＝(a＋2)x－x2－≥(a＋2)x－x2＝－x.所以存在x0∈(0，1)(例如x0取和中的较小值)满足ax0＋x＋＋2(x0＋2)cosx0－4>0，即当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．12．解 (1)证明 要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－e－x)，当x∈(0，1)时，h′(x)>0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x≤，只需证明ex≥x＋1.记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0，1)时，K′(x)>0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0，1]．综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．(2)解 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－49\n≥1－x－ax－1－－2xcosx＝－x.设G(x)＝＋2cosx，则G′(x)＝x－2sinx.记H(x)＝x－2sinx，则H′(x)＝1－2cosx，当x∈(0，1)时，H′(x)<0，于是G′(x)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G′(x)<G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2，从而a＋1＋G(x)≤a＋3.所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a>－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤－1－ax－－2xcosx＝－ax－－2xcosx＝－x，记I(x)＝＋a＋＋2cosx＝＋a＋G(x)，则I′(x)＝＋G′(x)，当x∈(0，1)时，I′(x)<0，故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a＋1＋2cos1，a＋3]．因为当a>－3时，a＋3>0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)>0，此时f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．13．160 [设池底长xm，宽ym，则xy＝4，所以y＝，则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．]49\n14. [由于AB⊥BC，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝＝20m.过点P作PN⊥BC交BC于N，连接AN(如图)，则∠PAN＝θ，tanθ＝.设NC＝x(x>0)，则BN＝20－x，于是AN＝＝＝，PN＝NC·tan30°＝x，所以tanθ＝＝＝，令＝t，则－＋1＝625t2－40t＋1，当t＝时，625t2－40t＋1取最小值，因此的最小值为＝，这时tanθ的最大值为×＝.]15．(1)1900 (2)100 [(1)l＝6.05，则F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝22，得F≤＝1900(辆/时)，故答案为1900.(2)l＝5，F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝20，得F≤＝2000(辆/时)，增加2000－1900＝100(辆/时)，故答案为100.]【两年模拟试题精练】1．B [因为8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，49\n解得x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4,所以选B.]2．B [(a－b)＋≥2中必须满足a－b>0，故选B.]3．D [依题意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6，选D.]4．C [∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A(－2，－1)，∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，∵mn>0，∴m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．]5．C [当x>0时，x＋≥2＝2.若因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以x>0是x＋≥2成立的充要条件，选C.]6．B [由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)，则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)，故选B.]7．C [由x＋3y＝5xy，可得＋＝5，即＋＝5，所以＋＝1.则3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，选C.]8．乙 [设原价为1，则提价后的价格：方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：，因为≤＋＝1＋%，因为p>q>0.所以<1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)<，所以提价多的方案是乙．]49\n9．②③ [①中，若a<b<0时不成立；②若a≥b>－1，则a＋1≥b＋1>0，则a(1＋b)－b(1＋a)＝a－b≥0，即a(1＋b)≥b(1＋a)，∴≥，故②正确；③中正整数m，n满足m<n，有均值不等式得≤，故③正确；④中，0<x<1时，lnx<0，结论不成立．综上，正确命题的序号是②③.]10. [∵α∈，∴tanα∈(0，＋∞)，∴＝＝＝≤＝当且仅当tanα＝，即tanα＝2时，等号成立所以，答案应填.]11.12．3 [因为正数x，y满足2x＋y－3＝0，所以(2x＋y)＝1，∴＝(2x＋y)＝≥3.]13．2 [∵a>b>0，∴a－b>0∴＝＝(a－b)＋≥2≥2.当且仅当(a－b)＝即：a＝b＋时等号成立．所以答案应填2.]14．1 3 [1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝即x＝1时等号成立．]15．4 [由已知得a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4，则2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝4，∴2a＋b＋c的最小值为4.]16．D [因为＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，所以－－≤－，则选49\nD.]17．(－4，2) [∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥8∵x＋2y≥m2＋2m恒成立，∴m2＋2m<8，求得－4<m<2，故答案为：－4<m<2.]18．4 [∵x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，∴＋＝(nx＋y)＝n＋4＋2＝n＋4＋4，当且仅当y＝2时取等号．∴n＋4＋4＝16，解得n＝4.故答案为：4.]19．解 (1)设DQ＝y，则x2＋4xy＝200，y＝.S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38000＋4000x2＋(0<x<10)．(2)S＝38000＋4000x2＋≥38000＋2＝118000，当且仅当4000x2＝，即x＝时，Smin＝118000(元)，即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．20．解 (1)依题意可得即(2)由(1)知f(x)＝＋，∵0<x<1，∴0<1－x<1,>0，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥9当且仅当＝，即x＝时，等号成立．∴f(x)的最小值为9.49\n21．解 (1)由条件得，a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝＝－，因为C为三角形内角，所以C＝120°.(2)由正弦定理得，a＝＝sinA，b＝＝sinBl＝(sinA＋sinB)＋1＝[(sinA＋sin(60°－A))]＋1＝＋1＝＋1＝sin(A＋60°)＋1因为0°<a<60°，所以60°<A＋60°<120°，<sin(A＋60°)≤1，1<sin(A＋60°)≤，所以2<l≤＋1，即2<l≤＋1.49
