(一)三角函数与解三角形1．(2022·天津河北区模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2sinxcosx，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解 (1)∵f(x)＝sin＋cos＋2sinxcosx＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，∴T＝π.(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∵当≤2x＋≤，即0≤x≤时，函数f(x)单调递增，当≤2x＋≤，即≤x≤时，函数f(x)单调递减，且f(0)＝，f＝2，f＝－，∴f(x)max＝2，f(x)min＝－.2．(2022·天津河北区模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C,2b＝3c.(1)求cosC的值；(2)求sin的值．解 (1)由2b＝3c及正弦定理可得2sinB＝3sinC，又B＝2C，∴2sin2C＝3sinC，∴4sinCcosC＝3sinC，∵0<C<π，∴sinC≠0.∴cosC＝.5\n(2)由(1)得cosC＝，0<C<π，∴sinC＝＝，∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C－1＝.∴sin＝(sin2C＋cos2C)＝＝.3．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2·sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC中线AD的长．解 (1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin，∴T＝＝π，∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，∵在△ABC中，f(A)＝2，∴sin＝1，又A∈(0，π)，∴2A－∈，∴2A－＝，∴A＝.又cosB＝，∴sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，5\n∴a＝7，∴BD＝，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝52＋2－2×5××＝，∴AD＝.4．(2022·重庆市綦江区调研)已知a＝(2cosx,2sinx)，b＝，函数f(x)＝cos〈a，b〉．(1)求函数f(x)的零点；(2)若锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(A)＝1，求的取值范围．解 (1)由条件可知，a·b＝2cosx·sin＋2sinx·cos＝2sin，∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝＝sin.由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，即函数f(x)的零点为x＝＋，k∈Z.(2)由正弦定理得＝，由(1)知，f(x)＝sin，又f(A)＝1，得sin＝1，∴2A－＝2kπ＋，k∈Z，又A∈(0，π)，得A＝，∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化简得，＝5\n＝＝＝2sin.又在锐角△ABC中，有0<B<，0<C＝－B<，∴<B<，∴<B＋<，则有<sin≤1，即<≤2.5．(2022·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝sinC.(1)若cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB，求sinA＋sinB的值；(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．解 (1)∵cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB，∴1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，∴sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，∴由正弦定理，得a2＋b2－c2＝－ab，∴由余弦定理，得cosC＝＝－，又0<C<π，∴C＝，∴sinA＋sinB＝sinC＝sin＝.(2)当c＝2，a＋b＝c＝2，∴cosC＝＝＝－1，∴sinC＝＝＝，∴S＝absinC＝ab＝.5\n∵a＋b＝2≥2，即0<ab≤3，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴S＝≤＝，∴△ABC面积的最大值为.5
