8＋6分项练11 直线与圆1．(2022·襄阳调研)已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是( )A．RB.C.D.答案 C解析 圆C：2＋2＝1－k2，因为过P有两条切线，所以P在圆外，从而解得－<k<.2．(2022·贵州省遵义航天高级中学模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则2＋2的值为( )A.B.C．5D．10答案 D解析 ∵在平面内，过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0相交于点M，∴P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，7\n∴M位于以PQ为直径的圆上，∵|PQ|＝＝，∴2＋2＝10.3．(2022·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3B．4C．2D．8答案 B解析 由题意可知，O1(0,0)，O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得<|m|<3.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴利用·5＝2×＝10，解得|AB|＝4.4．(2022·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B的距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( )A．2B.C.D.答案 A解析 以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B，设P(x，y)，则＝，化简得2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)距离最大时，7\n△PAB的面积取得最大值，由圆的性质可得，△PAB面积的最大值为×2×2＝2.5．已知点Q，P是圆C：(x－a)2＋2＝4上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋2＝1，则m的值为( )A．1B．2C．3D．4答案 D解析 设P(x，y)，PQ的中点为M，则由中点坐标公式得因为点M在圆x2＋2＝1上，所以2＋2＝1，即(x－1)2＋2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋2＝4比较可得解得m＝4.6．(2022·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )A．[2－，2＋]B．[－2－，－2]C．[－2－，2＋]D．[－2－，2－]答案 B解析 圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0可化为(x＋2)2＋2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为3，则由圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤3－2＝，即≤，则a2＋b2－4ab≤0，若b＝0，则a＝0，故不成立，故b≠0，则上式可化为1＋2－4×≤0.由直线l的斜率k＝－，7\n可知上式可化为k2＋4k＋1≤0，解得－2－≤k≤－2＋.7．(2022·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )A.B．5C．2D．10答案 B解析 由直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M的周长，可知直线必过圆M的圆心，由圆的方程可得圆M的圆心坐标为(－2，－1)，代入直线方程ax＋by＋1＝0可得2a＋b－1＝0，又由(a－2)2＋(b－2)2表示点(2,2)与直线2a＋b－1＝0上的任一点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d＝＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为d2＝2＝5.8．(2022·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )A．3B．2C.D．2答案 A解析 以A为坐标原点，分别以AD，AB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝，EC＝＝＝，即圆C的半径为，7\n∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.设P(x0，y0)，则(θ为参数)，而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y0＝1＋sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.9．(2022·湖南师大附中月考)与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．答案 3解析 直线过原点时，设方程为y＝kx，利用点到直线的距离等于半径可求得k＝±1，即直线方程为y＝±x；直线不过原点时，设其方程为＋＝1(a≠0)，同理可求得a＝4，直线方程为x＋y＝4，所以符合题意的直线共3条．10．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是________．答案 ∪[2，＋∞)解析 直线kx－y＋1－k＝0恒过点P(1,1)，kPA＝＝2，kPB＝＝，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象(图略)得k≤或k≥2.11．设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)·y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________，若l1∥l2，则实数a的值为________．答案 － －4解析 若l1⊥l2，则2(a＋1)＋3＝0，7\n整理可得5a＋8＝0，求解关于实数a的方程可得a＝－.若l1∥l2，则＝≠，据此可得a＝－4.12．在平面直角坐标系xOy中，点P是直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为__________．答案 [，2)解析 由题意知，圆心坐标为(1,1)，半径为1，要使AB的长度最小，则∠ACB最小，即∠PCB最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得点C到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝2，则∠PCB＝60°，∠ACB＝120°，即|AB|＝，当P在直线3x＋4y＋3＝0上无限远时，∠ACB趋近180°，此时|AB|趋近直径2.故|AB|的取值范围为[，2)．13．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为________．答案 x＋2y－4＝0解析 由题意得圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5，令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．则圆N的方程为(x－3)2＋y2＝1，由题意得直线l的斜率存在，所以设直线l：y＝k(x－4)．联立直线l的方程和圆M的方程消去y，得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，所以4＋xC＝，①联立得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，所以4＋xD＝，②依题意得xC＋4＝2xD，③7\n解①②③得k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－4＝0.14．已知圆C1：(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终外切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③当θ＝时，圆C1被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为；④若点P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4.正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，由题意，得圆C1的半径为1，圆心坐标为(2cosθ，2sinθ)，圆C2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为＝＝2.又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C1和圆C2始终外切，所以①正确；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，此时圆C1的方程为：(x－)2＋(y－1)2＝1，故圆C1的圆心坐标为(，1)，所以圆心到直线l的距离为＝.又因为圆C1的半径为1，所以其所截的弦长为2＝，所以③正确；对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，因为C1的直径为2，C2的直径也为2，故|PQ|的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.7
