8＋6分项练6 数 列1．(2022·烟台模拟)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为( )A．3n＋1B．3n－1C.D.答案 C解析 ∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比q＝3，且an≠0，∴bn＋1－bn＝＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝.2．(2022·河南省南阳市第一中学模拟)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于( )A．15B．19C．21D．309\n答案 B解析 设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝a，所以3a2＝a，解得a2＝0或a2＝3，又因为S1，S2，S4构成等比数列，所以S＝S1S4，所以(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)，若a2＝0，则d2＝－2d2，此时d＝0，不符合题意，舍去，当a2＝3时，可得(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝2(d＝0舍去)，所以a10＝a2＋8d＝3＋8×2＝19.3．(2022·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于( )A．－B．0C.D.答案 A解析 因为an＋1＝(n∈N*)，所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…，故此数列的周期为3.所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－.4．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A．72.705尺B．61.395尺C．61.905尺D．73.995尺答案 B解析 因为每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，9\n所以{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b1，b2，b3，…，b30，由{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是S30＝＋＝61.395.5．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( )A．12B．9C．6D．18答案 D解析 因为S3－S2＝a3，所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，设等比数列{an}的公比为q，则a1＝，由于{an}的各项为正数，所以q>1.a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3)＝＝3≥18，当且仅当q－1＝2，即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.6．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为( )A．[1,2)B．(1，e)C.D.答案 C解析 由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.9\n由xn＝，得＝1＋，＝….令Fn＝，则当n≥2时，＝>1，故数列{Fn}是递增数列，∴≥.∵当x>0时，ln(1＋x)<x，∴ln<，则ln＝ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝＋＋…＋＝<＝，∴…<e，故≤<e，故选C.7．(2022·宁德质检)记Sn为数列{an}的前n项和，满足a1＝，2an＋1＋3Sn＝3(n∈N*)，若Sn＋≤M对任意的n∈N*恒成立，则实数M的最小值为( )A．2B.C.D．4答案 C解析 由a1＝，2an＋1＋3Sn＝3(n∈N*)，得2an＋3Sn－1＝3，n≥2.9\n两式相减，可得2an＋1－2an＋3an＝0，即＝－＝q.∵a1＝，∴2a2＋3S1＝3，即2a2＋3a1＝3，∴a2＝－，∴＝－，∴an＝n－1.则Sn＝＝1－n.∴当n＝1时，Sn取最大值；当n＝2时，Sn取最小值.要使Sn＋≤M对任意的n∈N*恒成立．根据对勾函数的性质，当Sn＝时，Sn＋取得最大值，∴M≥，∴实数M的最小值为.8．(2022·烟台模拟)对于任意实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn>2018的最小整数，则n0的值为( )A．305B．306C．315D．316答案 D解析 由题意，an＝，当n＝1时，可得a1＝0，(1项)当21≤n<22时，可得a2＝a3＝1，(2项)当22≤n<23时，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4项)当23≤n<24时，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8项)当24≤n<25时，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16项)9\n……，当2k≤n<2k＋1时，可得a＝a＝…＝a＝k，(2k项)当2k≤n<2k＋1时，前n项和Sn＝1×21＋2×22＋…＋k×2k，2Sn＝1×22＋2×23＋…＋k×2k＋1，所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k×2k＋1，所以Sn＝(k－1)×2k＋1＋2.由Sn>2018，得k≥8.当k＝7时，Sn＝1538<2018；当k＝8时，Sn＝3586>2018，所以取k＝7，且2018－1538＝480，所以n0＝＋＋1＝316.9．(2022·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S4＝15，则S6＝________.答案 63解析 由题意得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以3,12，S6－15成等比数列，所以122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.10．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为________．答案 16解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴d>0，a1<0，{an}为递增数列．∵<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.∵Sn＝，∴当Sn>0时，n的最小值为16.9\n11．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝_____，数列的最大项是第k项，则k＝______.答案 19 4解析 等比数列前n项和公式具有的特征为Sn＝aqn－a，据此可知，r＝－1，则Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝－＝18，a3－r＝19.令bn＝nn，且bn>0，则＝·，由＝·>1可得n2<10，由＝·<1可得n2>10，据此可得，数列中的项满足b1<b2<b3<b4，且b4>b5>b6>b7>b8>…，则k＝4.12．(2022·上饶模拟)已知等比数列{an}的首项是1，公比为3，等差数列{bn}的首项是－5，公差为1，把{bn}中的各项按如下规则依次插入到{an}的每相邻两项之间，构成新数列：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在an和an＋1两项之间依次插入{bn}中n个项，则c2018＝________.(用数字作答)答案 1949解析 由题意可得，an＝3n－1，bn＝－5＋(n－1)×1＝n－6，由题意可得，数列{cn}中的项为30，－5,31，－4，－3,32，－2，－1,0,33，…，3n时，数列{cn}的项数为1＋2＋…＋n＋(n＋1)＝，当n＝62时，＝2016，即此时共有2016项，且第2016项为362，∴c2018＝b1955＝1955－6＝1949.13．(2022·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，则S60＝________.(用数字作答)答案 2649\n解析 因为a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，所以a3n＋a3n＋1＋a3n＋2＝n＋1，因此(a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59)＝2＋3＋…＋20＝209，因为a3n＝2n－2an，a3n＋2＝an－n，所以a60＝a3×20＝2×20－2a20，a20＝a3×6＋2＝a6－6，a6＝a3×2＝2×2－2a2＝0，所以a20＝－6，a60＝52，综上，S60＝1＋2＋209＋52＝264.14．数列{an}满足a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，则＋＋…＋的整数部分是________．答案 2解析 因为a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，所以an＋1－an＝(an－1)2>0，所以an＋1>an，数列{an}单调递增，所以an＋1－1＝an(an－1)>0，所以＝＝－，所以＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，所以m＝S2017＝3－，因为a1＝，所以a2＝2－＋1＝，a3＝2－＋1＝，a4＝2－＋1>2，…，所以a2018>a2017>a2016>…>a4>2，所以a2018－1>1，所以0<<1，9\n所以2<3－<3，因此m的整数部分是2.9
