8＋6分项练7 概 率1．(2022·辽宁省部分重点中学协作体模拟)甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分不必要条件C．甲是乙的必要不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案 C解析 当A1，A2是互斥事件时，A1，A2不一定是对立事件，所以甲是乙的不充分条件．当A1，A2是对立事件时，A1，A2一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．2．(2022·南平质检)五四青年节活动中，高三(1)，(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位：分)，其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x具有随机性(x∈N)，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为( )A.B.C.D.答案 D6\n解析 由茎叶图可得高三(1)班的平均分为＝＝，高三(2)班的平均分为＝＝，由<，得5<x<10，又x∈N，所以x可取6,7,8,9，概率为P＝＝.3．将一个质地均匀的正四面体玩具(四个面上依次标有1,2,3,4)先后抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，则事件“2a－b＝0”发生的概率为( )A.B.C.D.答案 B解析 将一个质地均匀的正四面体玩具连续抛掷两次，得到的点数(a，b)分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足2a－b＝0即b＝2a的有(1,2)，(2,4)，共2个，则事件“2a－b＝0”发生的概率P＝＝，故选B.4.在正方形内有两扇形相交区域如图中阴影部分所示，两扇形所在圆的圆心都是正方形的顶点，半径为正方形的边长，向正方形中随机抛一粒黄豆，则黄豆落在阴影区域内的概率为( )A.B．1－C．2－D.－1答案 D解析 设正方形的边长为a，则两个扇形所在圆的半径也为a，S正方形＝a2，S扇形＝πa2，故S阴影＝2S扇形－S正方形＝2×πa2－a2＝πa2－a2，则黄豆落在阴影区域内的概率P＝＝－1.5．非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*，an>0)中，所有元素的算术平均数记为E(A6\n)，即E(A)＝.若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“包均值子集”．据此，集合{1,2,3,4,5}的子集中是“包均值子集”的概率是( )A.B.C.D.答案 A解析 集合{1,2,3,4,5}的子集共有25＝32个，E＝3，满足题意的集合有{1,5}，{2,4}，{3}，{1,2,4,5}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,3,4,5}，共7个，∴P＝.6．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.B.C.D.答案 C解析 四个人的编号为1,2,3,4，由题意，所有事件共有24＝16(种)，没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1)，(2)，(3)，(4)，(1,3)，(2,4)，再加上没有人站起来的可能有1种，共7种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为.7．(2022·百校联盟TOP20联考)把不超过实数x的最大整数记作，则函数f(x)＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数．在上任取x，则[x]＝[]的概率为( )A.B.C.D.答案 D解析 当x∈时，∈，所以＝1或2，所以当即1≤x<2时，＝＝1，当即2≤x<3时，＝＝2，所以当1≤x<3时，＝，故所求的概率P＝＝.6\n8．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为( )A.B.C.D.答案 B解析 如图，原正六边形为ABCDEF，最小的正六边形为A1B1C1D1E1F1.设AB＝a，由已知得∠AOB＝60°，则OA＝a，∠AOM＝30°，则OM＝OAcos∠AOM＝a·cos30°＝，即中间的正六边形的边长为；以此类推，最小的正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为OB1＝OM＝·＝，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P＝＝＝，故选B.9．(2022·上饶模拟)从集合中随机选取一个数m，则方程＋＝1表示离心率为的椭圆的概率为________．答案 解析 从集合{2,4,8}中随机选取一个数m，则当m＝2时，椭圆方程为＋＝1，离心率e＝＝＝；当m＝4时，方程为＋＝1，表示圆；6\n当m＝8时，椭圆方程为＋＝1，离心率e＝＝＝.方程＋＝1表示离心率为的椭圆的概率为.10．已知a，b∈[1,2]，则代数式2a－b－2恒为非负数的概率是________．答案 解析 根据题意，代数式2a－b－2恒为非负数，即为2a－b≥2，从而点(a，b)满足画出不等式组所表示的区域，如图所示，满足2a－b≥2的点只能在△BCM中(包含边界)，根据几何概型的概率计算公式，可得所求的概率P＝＝.11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．答案 解析 只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知，这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率P＝1－＝.12．(2022·上海徐汇区模拟)将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量a＝，向量b＝(1,1)，则向量a⊥b的概率是________．答案 6\n解析 由题意知，m，n∈，则共有36种情况，由a⊥b，得＋＝0，即m＝n，共有6种情况，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为P＝.13．(2022·新乡模拟)已知函数f(x)＝，在区间上任取一个实数x0，则f′(x0)≥0的概率为________．答案 解析 ∵f′(x)＝，由≥0，可得x≥1，∴f′(x0)≥0的概率为＝.14.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________．(用分数表示)答案 解析 四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P＝＝.6
