[70分]8＋6标准练11．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0<lnx<2}，则A∩B的真子集的个数为( )A．3B．4C．7D．8答案 C解析 A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{x|0<lnx<2}＝{x|1<x<e2}，所以A∩B＝{2,3,4}，所以A∩B的真子集有23－1＝7(个)．2．“p∧q为假”是“p∨q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p∧q为假”得出p，q中至少有一个为假．当p，q为一假一真时，p∨q为真，充分性不成立；当“p∨q为假”时，p，q同时为假，所以p∧q为假，必要性成立．3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A．2盏B．3盏C．26盏D．27盏答案 C解析 设顶层有灯a1盏，底层有灯a9盏，灯数构成等差数列，由已知得解得a9＝26.4．已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围为( )A.B.C.∪D.∪答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，6\n把z＝改写为＝，所以可看作点(x，y)和(5,0)连线的斜率，记为k，则－≤k≤，所以z∈∪.5．如图是一个程序框图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是( )A．9≤a<10B．9<a≤10C．10<a≤11D．8<a≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S＝13，n＝12；S＝25，n＝11；S＝36，n＝10；S＝46，n＝9，此时退出循环，所以a的取值范围是9<a≤10.6．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝m，则m等于( )A．4B．6C．8D．10答案 C解析 因为y2＝mx，所以焦点到准线的距离p＝，6\n设P，Q的横坐标分别是x1，x2，则＝3，即x1＋x2＝6.因为|PQ|＝m，所以x1＋x2＋p＝m，即6＋＝m，解得m＝8.7．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．A(A)3B．A(A)4C.D.答案 B解析 12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A)4A种不同的坐法．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且2a＋b＝(a>0，b>0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A.πB.πC．4πD．5π答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD－A1B1C1D1的四个顶点，即为三棱锥A－CB1D1，且长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，a，b，6\n所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，半径为＝，所以三棱锥外接球的表面积为4π2＝π＝5π(a－1)2＋，当且仅当a＝1，b＝时，三棱锥外接球的表面积取得最小值π.9．设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则|z·＋|的值为________．答案 3解析 z·＋＝＋1＋i＝4＋i，|z·＋|＝3.10．已知a＝(1,2m－1)，b＝(2－m，－2)，若向量a∥b，则实数m的值为________．答案 0或解析 因为向量a∥b，所以(2m－1)(2－m)＝－2，所以m＝0或m＝.11．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________．答案 解析 从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C＝45(个)基本事件，其中取出的两条边或对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为＝.12．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为________．答案 解析 因为双曲线C：－＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，6\n所以＝1，即a＝1，所以a＝b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b＝.13．若对任意的x∈R，都有f(x)＝f ＋f ，且f(0)＝－1，f ＝1，则f 的值为________．答案 2解析 因为f(x)＝f ＋f ，①所以f ＝f(x)＋f ，②①＋②得，f ＝－f ，所以f ＝－f(x)，所以f(x＋π)＝f(x)，所以T＝π，所以f ＝f .在f(x)＝f ＋f 中，令x＝，得f ＝f(0)＋f ，因为f(0)＝－1，f ＝1，所以f ＝2，所以f ＝f ＝2.14．设an表示正整数n的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{an}的前n项和为Sn，那么S63的值为________．答案 714解析 由已知得，当n为偶数时，an＝，当n为奇数时，an＝.因为S＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a，6\n所以S＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a＝(a1＋a3＋a5＋…＋a)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a)＝＋(a1＋a2＋a3＋…＋a)＝(1＋2＋3＋…＋2n)＋(a1＋a2＋a3＋…＋a)＝＋S＝(2n＋4n)＋S，即S＝(2n＋4n)＋S，所以S＝(4n－1＋2n－1)＋(4n－2＋2n－2)＋…＋(41＋21)＋S＝2n－1＋·4n－1－，所以S63＝S＝25＋·45－＝714.6
