考点一 三角函数的图象及其变换1．(2022·山东，3)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析 ∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．答案 B2．(2022·湖南，9)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )A.B.C.D.解析 易知g(x)＝sin(2x－2φ)，φ∈，由|f(x1)－f(x2)|＝2及正弦函数的有界性知，①或②由①知(k1，k2∈Z)，∴|x1－x2|min＝＝，由φ∈，∴＋φ＝，∴φ＝，同理由②得φ＝.故选D.答案 D3．(2022·浙江，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象( )8\nA．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位解析 因为y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos3，所以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位后，可得到y＝cos的图象，故选C.答案 C4．(2022·辽宁，9)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析 将y＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin，即y＝3sin的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈，k∈Z，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin(2x－)在区间上单调递增，故选B.答案 B5．(2022·四川，5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，－ B．2，－C．4，－ D．4，解析 因为＝－＝，所以T＝π.由此可得T＝＝π，解得ω＝2，由图象知当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．又因为－8\n<φ<，所以φ＝－.答案 A6．(2022·浙江，4)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析 y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cosx＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应的图象为A项．答案 A7．(2022·辽宁，16)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．解析 由题意，结合图象知函数周期T＝×2＝，∴ω＝2.由2×＋φ＝kπ(k∈Z)及|φ|＜，得φ＝.∴f(x)＝Atan.将点(0，1)代入上式，得1＝Atan，∴A＝1，即f(x)＝tan.故f＝tan＝tan＝.答案 8．(2022·福建，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；8\n(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.解 法一 (1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sinx．从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．(2)①f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ).依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，)．②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解．所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.法二 (1)解 同法一．(2)①解 同法一．②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；8\n当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－＋＝－1.考点二 三角函数的性质及其应用1．(2022·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A．y＝cosB．y＝sinC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析 A选项：y＝cos＝－sin2x，T＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A2．(2022·陕西，2)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )A.B．πC．2πD．4π解析 ∵T＝＝π，∴B正确．答案 B3．(2022·大纲全国，12)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )A．y＝f(x)的图象关于(π，0)中心对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x)的最大值为D．f(x)既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A选项，因为f(2π－x)＋f(x)＝cos(2π－x)·sin2(2π－x)＋cosxsin2x＝－cosxsin2x＋cosxsin2x＝0，故y＝f(x)的图象关于(π，0)中心对称，A正确；对于B选项，因为f(π－x)＝cos(π－x)sin2(π－x)＝cosxsin2x＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝对称，故B正确；8\n对于C选项，f(x)＝cosxsin2x＝2sinxcos2x＝2sinx(1－sin2x)＝2sinx－2sin3x，令t＝sinx∈[－1，1]，则h(t)＝2t－2t3，t∈[－1，1]，则h′(t)＝2－6t2，令h′(t)＞0解得－＜t＜，故h(t)＝2t－2t3，在上递增，在与上递减，又h(－1)＝0，h＝，故函数的最大值为，故C错误；对于D选项，因为f(－x)＋f(x)＝－cosxsin2x＋cosxsin2x＝0，故是奇函数，又f(x＋2π)＝cos(2π＋x)·sin2(2π＋x)＝cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D正确．综上知，错误的结论只有C，故选C.答案 C4．(2022·湖南，6)函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )A．[－2，2]B．[－，]C．[－1，1]D.解析 f(x)＝sinx－cos＝sinx－＝sinx－cosx＝＝sin∈[－，]．故选B项．答案 B5．(2022·新课标全国，9)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A.B.C.D．(0，2]解析 由＜x＜π得，＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sinα在上递减，所以解得≤ω≤，故选A.答案 A8\n6．(2022·新课标全国，11)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，∵周期T＝＝π，∴ω＝2.又f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝sin＝cos2x，易得f(x)在上单调递减，故选A.答案 A7．(2022·浙江，11)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 (k∈Z)f(x)＝＋sin2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.答案 π8．(2022·上海，1)函数y＝1－2cos2(2x)的最小正周期是________．解析 y＝1－2cos2(2x)＝1－2×＝－cos4x，则最小正周期为.答案 9．(2022·北京，15)已知函数f(x)＝sincos－sin2.8\n(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.10．(2022·重庆，18)已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．解 (1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.8
