考点一 三角函数的性质及其应用1．(2022·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析 由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确．答案 D2．(2022·天津，8)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )A.B.C．πD．2π解析 由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.答案 C3．(2022·陕西，2)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )A.B．πC．2πD．4π解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T＝＝π.答案 B4．(2022·天津，6)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )16\nA．－1B．－C.D．0解析 因为x∈，所以2x－∈，当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.答案 B5．(2022·湖北，6)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.C.D.解析 y＝cosx＋sinx＝2sin的图象向左平移m个单位长度后得y＝2sin的图象．又平移后的图象关于y轴对称，即y＝2sin为偶函数，根据诱导公式m的最小正值为，故选B.答案 B6．(2022·福建，8)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－解析 函数f(x)＝sin的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.当k＝－1时x＝－π＋＝－.故选C.答案 C7．(2022·天津，7)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数16\nB．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析 由＝6π，得ω＝，所以f(x)＝2sin.由sin＝1，得φ＝，所以f(x)＝2sin，在[－2π，0]上是增函数，故选A.答案 A8．(2022·天津，11)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析 f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥，又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以，sin(ω2＋)＝1，ω2＋＝，∴ω＝.答案 9．(2022·江苏，1)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．解析 函数y＝3sin的最小正周期T＝＝π.答案 π10．(2022·安徽，15)设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则①f()＝0；②＜；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；16\n⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．解析 f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)(tanα＝，因为对一切x∈R，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，故f(x)＝sin或f(x)＝－sin.而f＝±sin＝0，所以①正确；＝＝，＝，所以＝，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f(x)＝sin(2x＋)和f(x)＝－sin图象可知，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错．答案 ①③11．(2022·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解 (1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－216\n＝10－2sin，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.12．(2022·四川，17)已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．解 (1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以，sinαcos＋cosαsin＝(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.16\n当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.考点二 三角函数的图象及其变换1．(2022·山东，4)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析 ∵y＝sin＝sin，∴要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．答案 B2．(2022·四川，3)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A.答案 A3．(2022·浙江，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位解析 因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，所以将y＝cos3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象．答案 A16\n4．(2022·安徽，7)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A.B.C.D.解析 法一 f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由该函数为偶函数可知2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为.法二 f(x)＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ，k∈Z，所以φ的最小正值为.答案 C5．(2022·福建，7)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图象关于点对称解析 函数y＝sinx的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，排除A；f(x)＝cosx的周期为2π，排除B；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cosx不关于直线x＝对称，排除C；故选D.答案 D6．(2022·福建，9)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )16\nA.B.C.D.解析 由f(x)过P得sinθ＝，∵－＜θ＜，∴θ＝，∴f(x)＝sin，平移后，g(x)＝sin，g(0)＝sin＝，∴－2φ＝2kπ＋或－2φ＝2kπ＋，k∈Z.验证选项知B正确．答案 B7．(2022·天津，7)将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )A.B．1C.D．2解析 平移之后y＝sin＝sin，由图象过点得，sin＝0，ω＝kπ，k∈Z，∴ω＝2k.又ω＞0，∴ωmin＝2.答案 D8．(2022·安徽，7)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象( )A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos2，∴只须将y＝cos2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．答案 C16\n9．(2022·浙江，6)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析 y＝cos2x＋1y＝cosx＋1y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．答案 A10．(2022·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________．解析 把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.答案 11．(2022·新课标全国Ⅱ，16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．解析 y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝sin＝sin，又它与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，令2x＋φ－＝2x＋＋2kπ得φ＝2kπ＋，k16\n∈Z，又－π≤φ＜π，∴φ＝.答案 12．(2022·安徽，16)设函数f(x)＝sinx＋sin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．解 (1)因为f(x)＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin.所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取最小值－.此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．(2)先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图象；再将y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象．考点三 求三角函数解析式1．(2022·大纲全国，9)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝( )A．5B．4C．3D．2解析 ∵由题中图象可知x0＋－x0＝.∴T＝.∴＝.∴ω＝4.故选B.答案 B2．(2022·四川，6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，－B．2，－16\nC．4，－D．4，解析 设该三角函数的周期为T，则由图象可得T＝－＝π，所以T＝π＝，所以ω＝2.又图象过点，所以sin＝1，－＜φ＜，解得φ＝－.答案 A3．(2022·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5，∴ymax＝k＋3＝8.答案 84．(2022·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：16\nωx＋φ0π2πxπAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.5．(2022·湖南，18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.因为点(，0)在函数图象上，所以Asin＝0，即sin＝0.又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜，从而＋φ＝π，即φ＝.16\n又点(0，1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin2x－2sin＝2sin2x－2＝sin2x－cos2x＝2sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.6．(2022·浙江，18)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜.y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．解 (1)由题意，得T＝＝6.∵P(1，A)在y＝Asin的图象上，∴sin＝1.又0＜φ＜，∴φ＝.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意，可知x0＋＝，得x0＝4，∴Q(4，－A)．16\n连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，PR＝A，RQ＝，PQ＝.由余弦定理，得cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A＞0，∴A＝.考点四 三角函数的综合应用1．(2022·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．解析 由知sinωx＝cosωx，即sinωx－cosωx＝0，∴sin＝0，∴ωx＝＋kπ，x＝(k∈Z)，∴两函数交点坐标为(k＝0，2，4，…)或(k＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为＝2，∴＝4，∴ω＝.答案 2．(2022·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析 ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cosx|，最小正周期为π；③y＝cos，16\n最小正周期为π；④y＝tan，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.答案 A3．(2022·福建，18)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解 f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1.(1)f＝sin＋1＝sin＋1＝2.(2)T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.4．(2022·北京，16)函数f(x)＝3sin的部分图象如下图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.(2)因为x∈，所以2x＋∈.于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，16\n即x＝－时，f(x)取得最小值－3.5．(2022·山东，18)设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值．解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－·－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1，因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.16
