浦东新区2022年高三综合练习数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数的定义域为.2．如果，为第三象限角，则．3．设等差数列的前项之和满足，那么．4．设复数，，，则__________.5．正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角等于__________.6．在△中，的对边分别是，且是的等差中项，则角=.7．若①,②,则同时满足①②的正整数有组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．已知圆的方程是，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为．10．已知数列中,,，则当取得最小值时的值是．11．设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面的距离分别为，则___.12．定义在上的函数同时满足性质：①对任何，均有成立；②对任何，当且仅当时，有.则的值为.13．对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:10\n根据上述分解规律,则,若的分解中最小的数是73,则的值为.14．定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；③数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.具有“性质”的为；具有“变换性质”的为.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．非零向量，，，若向量，则的最大值为（）A．B．C．D．以上均不对16．已知数列的通项公式为,其前项和,则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．17．已知中，,，则角的取值范围是（）A．.B．.C．D．18．在平面斜坐标系中,点的斜坐标定义为:“若(其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为10\n”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数的最大值为2．（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，，角A，B所对的边分别是a，b，求的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设，函数的图像与函数的图像关于点对称．（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围．10\n21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）图1图2（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值10\n22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.10\n23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列，满足：．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且．①记，求证：数列为等差数列；②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．浦东新区2022年高三综合练习数学试卷（理科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．25；8．8；9．；10．6或7；11．；12．0；13．9；14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．B；16．C；17．C；18．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，的最大值为，所以．………………………2分而，于是，．…………………………………4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为；…………………………………5分（2）化简得．……………………………………………………7分10\n由正弦定理，得，……………………………………………9分因为△ABC的外接圆半径为．．…………………………11分所以…………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，，于是，，………………2分因为在函数的图像上，所以，…4分即，，所以．……………………………………………………6分（2）令，因为，，所以，所以方程可化为，…………………………………………8分即关于的方程有大于的相异两实数解．作，则，………………………………………12分解得；所以的取值范围是．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得在线段CD：上，即，又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，所以；.…………………………………………………………………2分.；………………………4分所以的取值范围是..………………………………………………6分（2）由题意，得，..…………………………………………8分所以则，..……………………………10分10\n因为函数在单调递减，..………12分所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米...………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知，解得,方程为.·······················4分（2）当时，显然，由椭圆对称性，只研究即可，设（），于是···························································5分（当且仅当时取等号）··············································································8分（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为,由得:；10\n有①···································································10分由以为直径的圆经过坐标原点O可得:；整理得:②将①式代入②式得:,·································································12分又点到直线的距离所以·············································································14分2)当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得:；代入得；,综上:的面积是定值10\n又的面积也为,所以二者相等.·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当时，有．又也满足上式，所以数列的通项公式是．…………4分（2）①因为对任意的，有，所以，，所以，数列为等差数列．……………………………………………………8分②设（其中为常数且，所以，，即数列均为以7为公差的等差数列．……………………………………10分设．（其中为中一个常数）当时，对任意的，有；………………………………12分当时，．（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．综上所述，集合．当时，数列中必有某数重复出现无数次；当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…………………………………………………………………………………18分10
