【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第十二章几何证明选讲文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选填空题1．(2022·北京台区)如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB＝8，BC＝1，则CD＝________；AD＝________．解析 连接OD，由切割线定理：CD2＝BC·AC，得CD＝3，cos∠AOD＝－cos∠DOC＝－，由余弦定理得：AD2＝AO2＋DO2－2AO·DOcos∠AOD，解得AD＝.答案 3 2．(2022·天津六校联考)如图，PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，CD∶DP＝1∶2，则AB＝________．解析 ∵CD＝AD＝2，CD∶DP＝1∶2∴DP＝4，又∵∠DAP＝90°，∴AP＝＝2，由切割线定理得PC2＝PA·PB＝PA·(PA＋AB)，解得AB＝4.答案 43．(2022·湖南六校联考)点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．解析 由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，∠D＝∠D，所以△ADC∽△CDB，于是＝，所以AC＝·BC＝×3＝.答案 4．(2022·广州调研)已知⊙O的弦AB交半径OC于点D.若AD＝3，BD＝2，且D为OC的中点，则CD＝______.5\n解析 延长CO交圆O于点M，由题意知DC＝，DM＝r.由相交弦定理知AD·DB＝DC·DM，即r2＝6，∴r＝2，∴DC＝.答案 5．(2022·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.解析 ∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.答案 3一年创新演练6．△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D.若PA＝PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则PA＝________；EC＝________.解析 由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，∴PA＝3.由弦切角定理知∠PAE＝∠ABC＝60°，又∵PA＝PE，∴△PAE是边长为3的正三角形．∴AE＝PA＝3.又∵DE＝PE－PD＝2，BE＝BP－PE＝6.由相交弦定理知AE·EC＝DE·EB，即3EC＝2×6，∴EC＝4.答案 3 47．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析 连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案 125°B组 专项提升测试三年模拟精选5\n一、填空题8．(2022·北京东城区一模)如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2AC＝8，过C作△ABC外接⊙O的切线CD，BD⊥CD于D，BD与外接圆交于点E，则DE＝________．解析 连接OC，由题意得，∠ACB＝90°，∠OCB＝∠ABC＝30°，∵OC⊥CD，BD⊥DC，∴OC∥BD，∴∠DBC＝30°.∴DC＝BC＝2，BD＝BC·sin60°＝6，故由切割线定理：CD2＝DE·BD，得DE＝2.答案 29．(2022·广州市综合测试一)如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC＝2CE＝2，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为________．解析 延长AD交圆O于点F，由切割线定理：AE2＝EC·EB得AE＝，∵∠ADE＝∠ABE＋∠BAF，∠DAE＝∠EAC＋∠DAC，又∵∠EAC＝∠ABE，∠BAF＝∠FAC，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED＝.答案 10．(2022·广东佛山调研)AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD＝，则AB＝________，EF＝________.解析 ∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·BD.∵AD＝2BD，CD＝，5\n∴()2＝2BD·BD，解得BD＝1，∴AD＝2BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3.在Rt△CDE中，∵E为AD的中点，∴DE＝AD＝1，CD＝，∴CE＝＝，又由相交弦定理得AE·BE＝CE·EF，即1×2＝×EF，∴EF＝.答案 3 二、解答题11．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．(1)证明 如图，连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，∴BN＝6，∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.一年创新演练12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N.5\n(1)求证：B、E、F、N四点共圆；(2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2.证明 (1)连接BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°，则B、E、F、N四点共圆．(2)由直角三角形的射影定理可知AC2＝AE·AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：＝，BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)，BF·BM＝AB2－AB·AE，则BF·BM＝AB2－AC2，即AC2＋BF·BM＝AB2.5
