【走向高考】2022届高考数学一轮基础巩固第13章第2节参数方程北师大版选修4-5一、填空题1．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.[答案] [解析] 本题考查参数方程与普通方程互化．由题意知，曲线C1：y＝－2x＋3，C2：＋＝1，又知有一个公共点在x轴上，∴(a,0)在y＝－2x＋3，得a＝.2．(2022·深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案] (2,5)[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，由解得或(舍去)．故交点坐标为(2,5)．3．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．[答案] (φ为参数)[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．将方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，则曲线C的参数方程为(φ为参数)．4．(2022·芜湖模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．[答案] (－3,4)或(－1,2)[解析] 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．5．(2022·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.[答案] ±[解析] 曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.6．曲线(θ为参数)表示的曲线的直角坐标方程为________．[答案] (x＋1)2＋(y－2)2＝1.-4-\n[解析] 消去参数θ，将参数方程化为普通方程，曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.二、解答题7．(2022·新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．[解析] (1)由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入得x2＋y2＝2x，∴(x－1)2＋y2＝1，∵θ∈[0，]，∴0≤y≤1，化为参数方程得(θ为参数，0≤θ≤π)．(2)设D(1＋cosθ，sinθ)，∵切线与l垂直，设圆心为C，∴CD∥l，∴kCD＝＝，∴θ＝，∴D(，)．8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos(θ－)＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．[解析] (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝x－＋1.所以解得一、填空题1．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．[答案] (θ为参数)-4-\n[解析] 将x2＋y2－x＝0配方得(x－)2＋y2＝，∴圆的直径为1，设P(x，y)，则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ为参数)．2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．[答案] (，) [解析] 本题考查极坐标与参数方程．由化为普通方程y＝(x－2)2①由θ＝化为直角坐标方程y＝x②联立①②，∴(x－2)2＝x，即x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴中点坐标为(，)．3．(2022·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．[答案] ρ(cosθ－sinθ)＝1[解析] 曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以直线l过圆心(2,1)，所以直线l的方程为y＝x－1，化为极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1.4．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[答案] ρcos2θ－sinθ＝0[解析] 由得y＝x2，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.∴ρcos2θ－sinθ＝0.5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．[答案] 4[解析] 本题考查的是参数方程及两直线的位置关系．由l1：，得y＝x－，由l2：，得y＝x－1，∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.6．(2022·重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0 (ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.[答案] [解析] 本题考查了极坐标与参数方程以及与普通方程的互化．直线的方程为x－y＋1＝0，极坐标方程化为普通方程为y2＝4x.它们的交点坐标是(1,2)，所以极径是.-4-\n解决极坐标与参数方程，一般是先化为普通方程后在解决相关问题．三、解答题7．(2022·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[解析] (1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得，由x＋y＝得x2＋()2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1，故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则P1P2中点为(，1)，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝(x－)．化为极坐标方程，得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.8．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．[解析] (1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．-4-
