【走向高考】2022届高考数学一轮基础巩固第13章第1节绝对值不等式北师大版选修4-5一、选择题1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．[－5,7] B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)[答案] D[解析] 本题主要考查了绝对值不等式的解法．依题意：“|x－5|＋|x＋3|”的几何意义为：点x到点5，－3的距离之和．而当x＝－4或6时，|x－5|＋|x＋3|＝10，∴原不等式的解集为x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞)．2．(2022·安徽高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或8[答案] D[解析] 本题考查分段函数，函数的最值．①当a<2时，－1<－，f(x)＝.②当a>2时，－1>－，f(x)＝.对于①，f(x)max＝f(－)＝＋1－a＝3，∴a＝－4.对于②，f(x)min＝f(－)＝－＋a－1＝3，∴a＝8.二、填空题3．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．[答案] [0,4][解析] 由||x－2|－1|≤1.∴0≤|x－2|≤2，∴－2≤x－2≤2，即0≤x≤4.4．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．[答案] {x|－≤x≤}[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法．当x≤－时，原不等式化为－(2x－1)－(2x＋1)≤6，∴x≥－，即－≤x≤－；-4-\n当－<x≤时，原不等式为－(2x＋1)＋(2x＋1)≤6，∴0≤6成立，即－<x≤；当x>时，原不等式化为2x－1＋2x＋1≤6，∴x≤，即<x≤；综上可知，－≤x≤.即原不等式的解集为{x|－≤x≤}．5．(2022·广东高考)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．[答案] (－∞，－3]∪[2，＋∞) [解析] 本题考查绝对值不等式的解法，利用数轴先判断：2到－2,2到1的距离和为5，－3到－2，－3到1的距离和为5，所以x≥2或x≤－3，利用绝对值的几何意义来解决比较方便，如果利用分段讨论也可以但较复杂．6．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．[答案] (－∞，－1]∪[4，＋∞)[解析] 要使|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x∈R恒成立，则需a2－3a大于等于函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值．又ymax＝4，故a2－3a≥4，得a≤－1或a≥4.三、解答题7．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．[解析] (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2<x<5时，－3<2x－7<3.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．8．(2022·新课标Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．[解析] (1)由绝对值不等式的几何意义可知：由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋-4-\n－(x－a)|＝a＋≥2，当且仅当a＝1时，取等号，所以f(x)≥2.(2)因为f(3)<5，所以|＋3|＋|a－3|<5⇔＋3＋|a－3|<2－⇔－2<a－3<2－，解得：a的取值范围是(，).一、选择题1．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，3]∪[5，＋∞)B．[－5，－3]C．[3,5]D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)[答案] D[解析] ∵|x－a|＋|x＋4|≥1的解集为R，∴|x－a|＋|x＋4|≥|(x－a)－(x＋4)|＝|a＋4|≥1恒成立．所以a＋4≥1或a＋4≤－1.解得a≥－3或a≤－5.故选D．2．(2022·江西高考)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析] 本题考查绝对值不等式||x|－|y||≤|x±y|≤|x|＋|y|的应用．因为|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|>|x－1－x|＋|y－1－y－1|＝1＋2＝3，选C．二、填空题3．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析] ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.4．已知h>0，a，b∈R，命题甲：|a－b|<2h；命题乙：|a－1|<h且|b－1|<h，则甲是乙的________条件．[答案] 必要不充分[解析] |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|≤2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．5．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．[答案] (－∞，＋∞)[解析] 本题考查绝对值不等式性质．|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|a－x＋x－b|＝|a－b|>2，所以x∈(－∞，＋∞)．6．(2022·重庆高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋-4-\na＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案] [－1，][解析] 本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法．设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝，可得最小值为，根据条件可得a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0解得－1≤a≤.注：f(x)≤a恒成立，就是要使得a大于等于f(x)的最大值；f(x)≥a恒成立，就是要使得a小于等于f(x)最小值．三、解答题7．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．[解析] (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.8．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，(解法1)由绝对值的几何意义知不等式的解集为{x|x≤－或x≥}．(解法2)不等式可化为或或所以不等式的解集为{x|x≤－或x≥}．(2)∵|x－1|＋|x－a|≥|a－1|，∴由题意可知|a－1|≥2，解得a≥3或a≤1.从而a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．-4-
