【走向高考】2022届高中数学二轮复习 专题6 不等式、推理与证明、算法框图与复数（第1讲）课时作业 新人教A版

【走向高考】2022届高中数学二轮复习专题6不等式、推理与证明、算法框图与复数（第1讲）课时作业新人教A版一、选择题1．(2022·唐山市一模)己知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>}，则(　　)A．A∩B＝∅　　　　B．B⊆AC．A∩∁RB＝RD．A⊆B[答案]　A[解析]　A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，B＝{x|log4x>}＝{x|x>2}，∴A∩B＝∅.2．(2022·山东理，5)已知实数x、y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)A.>　　　B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C．sinx>sinyD．x3>y3[答案]　D[解析]　ax<ay(0<a<1)，∴x>y，而幂函数y＝x3在定义域上为增函数，∴x3>y3.[点评]　可以用特值检验法求解．3．(文)(2022·四川文，5)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)A.>B.<C.>D.<[答案]　B[解析]　∵c<d<0，∴<<0，∴－>－>0，又∵a>b>0，∴－>－>0，即<.选B.(理)已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是(　　)A．a>b－1　　　　　B．a>b＋1C．|a|>|b|D．2a>2b[答案]　A[解析]　∵a>b，b>b－1，∴a>b－1，但当a>b－1时，a>b未必成立，故选A.[点评]　a>b＋1是a>b的充分不必要条件，2a>2b是a>b的充要条件；|a|>|b|是a>b的既不充分也不必要条件．4．(文)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)-10-\nA.B．4C.D．2[答案]　C[解析]　∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，∴≥，等号在a＝1，b＝2时成立．(理)若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是(　　)A．1B．5C．4D．3＋2[答案]　D[解析]　直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝11.∴圆心C(1,2)在直线上⇒2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1.∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2，故选D.5．(2022·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)A．2B.C.D．2[答案]　B[解析]　通过解方程组可得A(－，)，B(2,3)，C(0，－1)，E(0,1)，如图可知，S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝×|CE|×(xB－xA)＝.6．(文)若实数x、y满足不等式组则w＝的取值范围是(　　)A．[－1，]B．[－，]C．[－，＋∞)D．[－，1)[答案]　D[解析]　作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．-10-\n由图可知wmin＝＝－，wmax<1，∴w∈[－，1)．(理)如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为(　　)A.或B.或C.或D.或[答案]　C[解析]　画出表示的平面区域，直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，则k＝0或k＝－，如图所示：A(，)，B(，1)，∴所求三角形的面积为或.二、填空题7．(文)(2022·合肥质检)不等式组表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________.[答案]　±1[解析]　本题可以通过画图解决，如图直线l：x－ky＋k＝0过定点(0,1)．当k＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的最大值为________．[答案]　41[解析]　约束条件画出可行域如图，易知x＝4，y＝5时，z有最大值，z＝42＋52＝41.8．(2022·邯郸市一模)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈-10-\n[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．[答案]　[－1,1][解析]　∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，>0等价于>0，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，则即∴－1≤m≤1.∴实数m的取值范围是[－1,1]．三、解答题9．(2022·杭州质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；(2)当x∈[0,1]时，不等式x－≤f(x)≤x＋恒成立，求a的取值集合．[解析]　(1)a＝1时，f(x)＝－x3＋x，则f′(x)＝－3x2＋1，设切点T(x0，y0)，则f′(x0)＝－3x＋1，∴切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，即y－(－x＋x0)＝(－3x＋1)(x－x0)．把(－1,0)代入得(x0＋1)2(2x0－1)＝0，∴x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为y＝－2x－2；当x0＝时，切线方程为y＝x＋.(2)不等式x－≤f(x)≤x＋，即x－≤－x3＋ax≤x＋，①当x＝0时，不等式显然成立．②当x∈(0,1]时，不等式化为－＋x2≤a≤＋＋x2，设g(x)＝－＋x2，h(x)＝＋＋x2，则g′(x)＝＋2x>0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝1，h′(x)＝，∴h(x)在(0，]上单调递减，在(，1]上单调递增，-10-\n∴h(x)min＝h()＝1，∴1≤a≤1，∴a＝1.综上知，a的取值集合为{1}.一、选择题10．(文)(2022·重庆文，7)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　∵a>0，∴不等式x2－2ax－8a2<0化为(x＋2a)(x－4a)<0，∴－2a<x<4a，∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，∴a＝.(理)(2022·天津文，7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)A．[1,2]B．(0，]C．[，2]D．(0,2][答案]　C[解析]　因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C.11．(2022·新课标Ⅰ文，11)设x、y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)A．－5B．3C．－5或3D．5或－3[答案]　A[解析]　当a＝－5时，作出可行域，由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取最大值，zmax＝7，不合题意，排除A、C；当a＝3时，同理可得目标函数z＝x＋3y过B(1,2)时，zmax＝7符合题意，故选B.12．(文)(2022·北京理，6)若x、y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)A．2B．－2C.D．－[答案]　D[解析]　本题考查了线性规划的应用．若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意．-10-\n若k<0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z＝y－x在点(－，0)处取最小值－4，故0－(－)＝－4，解得k＝－，即选项D正确．(理)(2022·四川文，6)执行如图的程序框图，如果输入的x、y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)A．0B．1C．2D．3[答案]　C[解析]　若，则S＝2x＋y取最大值2(当x＝1，y＝0时取得)，如图：否则S＝1，∴输出S的最大值为2.13．(文)(2022·东北三校联考)如果实数x、y满足目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为(　　)A．－2B.C．2D．不存在[答案]　C[解析]　作出不等式组表示的可行域如图．可行域中的最优解可能是A(5,2)，B(1，-10-\n)，C(1,1)．若k＝－2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是B(1，)，取得最小值的最优解是A(5,2)，有12＝－2×1＋成立与3＝－2×5＋2不成立，排除选项A.若k＝2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是A(5,2)，取得最小值的最优解是C(1,1)，有12＝12×5＋2与3＝2×1＋1都成立，所以选C.(理)(2022·惠州调研)已知A(3，)，O是原点，点P(x，y)的坐标满足若z为在上的投影，则z的取值范围是(　　)A．[－，]B．[－3,3]C．[－，3]D．[－3，][答案]　B[解析]　z＝＝||cos∠AOP＝2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP＝时，zmax＝2cos＝3；当∠AOP＝时，zmin＝2cos＝－3，∴z的取值范围是[－3,3]．二、填空题14．(文)(2022·山西太原五中月考)若不等式组，表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范围是________．[答案]　(－1,0)[解析]　画出，表示的平面区域如图，由于直线y＝kx＋5过点(0,5)，当k＝0时，直线y＝kx＋5与直线x＝2垂直，当k＝－1时，直线y＝kx＋5与直线x－y＋5＝0垂直，要使平面区域为锐角三角形，应有－1<k<0.(理)(2022·中原名校联考)已知实数x、y满足，若z＝3x＋y的最大值为16，则a＝________.[答案]　0[解析]　直线y＝x与y＝1交点A(1,1)，显然z＝3x＋y最优点不是A点，由，得B(，)，由-10-\n，得C(4－a,1)，若最优点为B，则a＝0，若最优点为C，则a＝－1，经检验知a＝－1不合题意，∴a＝0.15．(2022·长沙市模拟)若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足＋＝，则称a，b，c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的．若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M＝{x||x|≤2022，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M，则(1)“好集”P中的元素最大值为________；(2)“好集”P的个数为________．[答案]　(1)2022　(2)1006[解析]　依题意得由此得a＝－2b，c＝4b，即“好集”为形如{－2b，b,4b}(b≠0)的集合．由“好集”是集合M的三元子集知即－503.5≤b≤503.5，b∈Z且b≠0，因此符合条件的b可取－503，－502，…，－1,1,2，…，502,503，共1006个不同的值，“好集”P的个数是1006，“好集”P中的最大元素是4×503＝2022.三、解答题16．(文)已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a、c、d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．(1)求a，c，d的值；(2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.[解析]　(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax2－x＋c.又f′(1)＝0，∴a＋c＝.∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－x＋c≥0恒成立，∴ax2－x＋－a≥0恒成立，显然当a＝0时，上式不恒成立．∴a≠0，∴即即解得：a＝，c＝.(2)∵a＝c＝.∴f′(x)＝x2－x＋.f′(x)＋h(x)<0，即x2－x＋＋x2－bx＋－<0，-10-\n即x2－(b＋)x＋<0，即(x－b)(x－)<0，当b>时，解集为(，b)，当b<时，解集为(b，)，当b＝时，解集为∅.(理)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b、c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间(，1)内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；(3)设n＝2，若对任意x1、x2∈[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．[分析]　(1)利用零点存在性定理先判断f()．f(1)的正负，再用导数判断函数的单调性；(2)利用线性规划或构造不等式均可解决；(3)对任意x1，x2∈[－1,1]，都有≤4，即f(x)的最大值与最小值的差M≤4.[解析]　(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.∵f()f(1)＝(－)×1<0，∴f(x)在(，1)内存在零点．又当x∈(，1)时，f′(x)＝nxn－1＋1>0，∴f(x)在(，1)上是单调递增的，∴f(x)在(，1)内存在唯一零点．(2)解法1：由题意知即作出可行域如图，由图形知，b＋3c在点(0，－2)处取到最小值－6，在点(0,0)处取到最大值0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.解法2：由题意知－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②①×2＋②得－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知解得b＝，c＝，∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，-10-\n∴－6≤b＋3c≤0，当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.(3)当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.对任意x1、x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：(ⅰ)当||>1，即|b|>2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．(ⅱ)当－1≤－<0，即0<b≤2时，M＝f(1)－f(－)＝(＋1)2≤4恒成立．(ⅲ)当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，M＝f(－1)－f(－)＝(－1)2≤4恒成立．综上可知，－2≤b≤2.注：(ⅱ)，(ⅲ)也可合并证明如下：用max{a，b}表示a、b中的较大者．当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f(1)，f(－1)}－f(－)＝＋－f(－)＝1＋c＋|b|－(－＋c)＝(1＋)2≤4恒成立．[点评]　本题综合考查了零点存在性理论的应用、线性规划及不等式恒成立问题，题目立意新颖，尤其(3)问中的等价转化思想及分类讨论思想的应用体现了本题丰富的数学思维．-10-