【专项冲击波】高考数学 讲练测系列 专题10 推理证明、复数、算法框图（教师版）

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题10推理证明、复数、算法框图（教师版）【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.28\n2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。证明时，特别注意第二步，要弄清式子的构成规律，充分利用题目中的条件和假设，适当变形。4.复数:掌握复数的分类、复数相等、模、几何意义、复数的四则运算。【考点在线】考点一　推理例1.(2012年高考湖北卷文科17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）【名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理，28\n推理归纳与类比,是近几年高考的一个热点问题之一,几乎年年必考,一般以选择或填空题的形式考查.【备考提示】推理分为合情推理与演绎推理,都是高考的重点内容之一,必须熟练其模式.练习1:(2012年高考陕西卷理科11)观察下列不等式，，……照此规律，第五个不等式为．考点二　间接证明与直接证明例2.(2011年高考安徽卷理科19)（Ⅰ）设证明，（Ⅱ），证明.【证明】(Ⅰ)由于，所以要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：28\n由于，上式显然成立，所以原命题成立。（Ⅱ）设，，由换底公式得，，，，故要证：只要证明：，其中，由(Ⅰ)知所要证明的不等式成立。【名师点睛】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力,用的分析法证明的。第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。【备考提示】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。练习2:(2012年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）数列满足：（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。28\n当时，与同号，由当时，存在，使与异号与数列是单调递减数列矛盾得：当时，数列是单调递增数列。(理科)考点三　数学归纳法例3.(2012年高考湖北卷理科22)(本小题满分14分)（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-128\n（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：28\n，从而.故当时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.【名师点睛】本小题考查导数的应用、数学归纳法，分类讨论等知识，考查同学们分类讨论等数学思想，考查了同学们分析问题和解决问题的能力。【备考提示】数学归纳法是理科考查的内容之一，要熟练其证明模式，特别是在步骤以及容易出错的地方加以注意。练习3：(2012年高考上海卷理科23)（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意28\n，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.因为具有性质P，所以有，、Î，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设Î且Ï，则.由，得，与28\n考点四　复数例4.(2012年高考广东卷理科1)设i为虚数单位，则复数=（）A6+5iB6-5iC-6+5iD-6-5i【答案】C【解析】因为==6，故选C.【名师点睛】本题考查复数的基本运算，属简单题.【备考提示】复数是高考的热点内容，年年必考，以选择或填空题的形式出现，主要考查复数的概念、复数相等、几何意义以及复数的四则运算，熟练基础知识是解决本类问题的关键.练习4：(2012年高考北京卷理科3)设a，b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到28\n，因此想必要条件，故选B.考点五　算法框图例5.(2012年高考辽宁卷理科9)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）(A)1(B)(C)(D)4【答案】D【解析】根据程序框图可计算得由此可知S的值呈周期出现，其周期为4，输出时，因此输出的值与时相同，故选D。【名师点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力，属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期（如果数值较少也可直接算出结果），再根据周期确定最后的结果。【备考提示】：框图仍然是高考的一个热点，在高考中，一个般一个选择或填空题，难度不大，大多与数列或不等式等知识结合起来命题，故熟练其基础知识是解决本类问题的关键.练习5：(2012年高考天津卷理科3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（）（A）　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）28\n【答案】C【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出.【考题回放】1.(山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文科)复数=()A.B.C.D.【答案】C【解析】，选C.2.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)复数在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，对应的点为，所以为第四象限，选D.28\n3．(2012年高考浙江卷理科2)已知i是虚数单位，则＝（）A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i【答案】D【解析】＝＝＝1＋2i．4.(2012年高考山东卷理科1)若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（）A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i5．(2012年高考江西卷理科6)观察下列各式：则（）A．28B．76C．123D．1996.(2012年高考安徽卷理科1)复数满足：；则（）【答案】【解析】.7.(2012年高考湖北卷理科1)方程+6x+13=0的一个根是()A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i【答案】A28\n【解析】由求根公式得==，故选A.8．(2012年高考上海卷理科15)若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．9．(2012年高考上海卷理科18)设，，在中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.10.(天津市天津一中2013届高三上学期一月考文)是虚数单位,复数()A．　B．　C．　　D．【答案】A【解析】，选A.11.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为=，所以复数,选D.12．(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=（）A.－iB.－1C.iD.1【答案】A28\n【解析】因为,故所以选A.13.(2012年高考福建卷理科14)数列的通项公式，前项和为，则___________。14.(2012年高考湖南卷理科12)已知复数(i为虚数单位)，则|z|=_____.【答案】10【解析】=，.15.(2012年高考湖南卷理科16)设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）当N=16时,28\n16．(2012年高考重庆卷理科11)若，其中为虚数单位，则；【答案】4【解析】.17.(2012年高考江西卷文科15)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_________。【答案】3【解析】当k=1，a=1，T=1当k=2，a=0，T=1当k=3，a=0，T=1当k=4，a=1，T=2当k=5，a=1，T=3，则此时k=k+1=6所以输出T=3.18．(2012年高考上海卷理科1)计算：（为虚数单位）.【答案】【解析】.19.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且28\n（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设20．(2012年高考上海卷文科23)对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.28\n因此，.……10分===.……18分【高考冲策演练】一、选择题：1.(2012年高考福建卷理科1)若复数满足，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.28\n2.(2012年高考辽宁卷理科2)复数()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】，故选A3.(2012年高考新课标全国卷理科3)下面是关于复数的四个命题：的共轭复数为的虚部为其中的真命题为（）4.(2012年高考天津卷理科1)是虚数单位，复数=（A）　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【答案】B【解析】===.5.(2012年高考陕西卷理科3)设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.28\n6.(2012年高考四川卷理科2)复数（）A、B、C、D、【答案】B【解析】.7.(2012年高考全国卷理科1)复数A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.8．(2012年高考全国卷理科12)正方形的边长为1，点在边上，点在边上，，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为A．16B．14C．12D．109．(云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文)在复平面内，复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】A【解析】A.10.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（）28\n（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】故选A11．(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i【答案】B【解析】由题得所以选B.12.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）（A）2（B）(C)(D)1【答案】B【解析】,a>0,故a=.二．填空题：13．（2012年高考江苏卷3）设，（i为虚数单位），则的值为．【答案】【解析】据题，所以从而.14.（2012年高考江苏卷4）右图是一个算法流程图，则输出的k的值是．28\n15.(2012年高考湖北卷理科13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。16．(2012年高考湖北卷文科16)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=_________。【答案】928\n【解析】当时,计算出的;当时,计算出的;当时,计算出的,此时输出的结果s=9.三．解答题：17．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。【解析】………………（4分）设，则，…………（12分）∵，∴………………（12分）18.(2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）28\n（Ⅱ）逆命题为：是平面内的一条直线，是平面外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题.19.(2012年高考福建卷文科20)（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°Ⅰ.试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;Ⅱ.根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。20．(2012年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）设数列的前项和满足，其中。（I）求证：是首项为1的等比数列；（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。【解析】（1）证明：由，得，即。因，故，得，又由题设条件知，28\n两式相减得，即，由，知，因此综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。（2）当或时，显然，等号成立。设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：即证：当时，上面不等式的等号成立。当时，与，（）同为负；当时，与，（）同为正；因此当且时，总有（）（）>0,即，（）。上面不等式对从1到求和得，由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立.21.(2012年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数.定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标.（1）证明：；（2）求数列的通项公式.28\n由由，故有即综上可知恒成立。（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或①②28\n两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列,故。22．(2012年高考北京卷理科20)（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表，求的值；（2）设数表形如求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.28\n由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴的最大值为1（3）的最大值为.首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的28\n28