阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·三峡名校联盟联考)直线x－y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是( )A．相离 B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心[答案] B[解析] 圆心C(1,0)到直线的距离d＝＝，∴选B.2．(文)(2022·内蒙赤峰市宁城县月考)抛物线x2＝ay的准线方程是y＝1，则实数a的值为( )A．－4B．4C.D．－[答案] A[解析] 由条件知－＝1，∴a＝－4.(理)(2022·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.＋＝1或＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D.＋＝1或＋＝1[答案] C[解析] 由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.3．(2022·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1[答案] A[解析] 指数函数y＝3x的图象与椭圆＋＝1有两个交点，∴A∩B中有2个元素，∴其子集有22＝4个．4．(2022·长春市十一高中阶段性测试)已知双曲线－-12-\n＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A.B．C.D．3[答案] C[解析] 由条件知，＝c，∴＝，∴4b2＝5a2，∵a2＋b2＝c2，∴4c2＝9a2，∴e＝＝.5．(2022·大连市二十中期中)已知圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1和两点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，m>0，若圆C上存在点P，∠APB＝90°，则m的最大值为( )A．7 B．6 C．5 D．4[答案] B[解析] 由条件知，以线段AB为直径的⊙D与⊙C有公共点，∵C(4,4)，D(1,0)，∴圆心距|CD|＝5，∴|m－1|≤|CD|≤m＋1，∴4≤m≤6，故选B.6．(2022·洛阳市期中)已知双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为( )A.B．C.D．[答案] A[解析] 由题意知b2＝ac，∴c2－a2－ac＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝或e＝(舍去)．7．(2022·开封市二十二校联考)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )A.B．2C.或2D．或[答案] C[解析] 根据条件可知m2＝9，∴m＝±3，当m＝3时，e＝＝，m＝－3时，e＝2，所以正确选项为C.-12-\n8．(2022·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)以双曲线－＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为( )A.－1B．C.＋1D．2[答案] C[解析] 由题意知点M的坐标为M(，)，代入双曲线方程可得－＝1，∵b2＝c2－a2，e＝，∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.故选C.9．(2022·开封四中期中)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )A．2 B．4 C．6 D．8[答案] D[解析] 设△OFM的外接圆圆心为O1，则|O1O|＝|O1F|＝|O1M|，∴O1在线段OF的中垂线上，又∵⊙O1与抛物线的准线相切，∴O1在抛物线上，∴O1(，p)，又圆面积为36π，∴半径为6，∴＋p2＝36，∴p＝8.10．(文)(2022·云南景洪市一中期末)点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内一条弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0[答案] C[解析] 圆心C(1,0)，由条件知PC⊥AB，∴kAB＝－＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.(理)(2022·银川九中一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案] B[解析] 设圆心C(x0，－x0)，则＝，∴x0＝1，∴圆心C(1，－1)，半径r＝，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.11．(2022·广东揭阳一中期中)曲线＋＝1与曲线＋＝1(12<k<16)的( )A．长轴长与实轴长相等-12-\nB．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等[答案] C[解析] 对于椭圆＋＝1，c＝2，对于双曲线－＝1，c＝(16－k)＋(k－12)＝4，∴c1＝2，故选C.12．(文)(2022·抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝( )A.B．C.D．[答案] C[解析] 设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－)＝x2，∴|AC|＝x，由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，∴x＋x＝2a，x＝2c，∴c＝＝＝＝.(理)(2022·江西师大附中期中)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y＝a1x＋m与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，则数列{}的前10项和为( )A.B．C.D．2[答案] B[解析] ∵直线y＝a1x＋m与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，∴直线x＋y－d＝0经过圆心，∴2＋0－d＝0，∴d＝2，∵直线y＝a1x＋m与直线x＋y－d＝0垂直，∴a1＝1，a1＝2，∴Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)，＝＝－，所以数列{}的前10项和为＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，所以选B.-12-\n第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·豫南九校联考)已知双曲线3y2－mx2＝3m(m>0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] 双曲线标准方程为－＝1，∴c＝，∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴＝2，∴m＝1，∴e＝2.14．(2022·遵义航天中学二模)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是________．[答案] [－，0][解析] 设圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得k(k＋)≤0，∴－≤k≤0.15．(文)(2022·泗阳县模拟)两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为________．[答案] [解析] ∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，∴解得a＝5，b＝4，∴双曲线方程为－＝1，∴c＝＝，∴双曲线－＝1的离心率e＝＝.(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案] (1,1＋)[解析] ∵双曲线关于x轴对称，∴A、B两点关于x轴对称，∴|F2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF2F1<45°⇔|AF1|<|F1F2|，不妨设A点在x轴上方．∵F1(－c,0)，∴A(－c，)，即|AF1|＝，又|F1F2|＝2c，∴<2c，∴c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，-12-\n∴1－<e<1＋，∵e>1，∴1<e<1＋.16．(2022·湖北武汉调考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.[答案] 8[解析] 如图，设MN的中点为P，由题意可知，PF1，PF2分别为△AMN，△BMN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×4＝8.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·山西大同调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点B(1,0)，圆A：(x＋1)2＋y2＝16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线与AP相交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于E、F两点，求弦长|EF|.[解析] (1)由已知|QP|＝|QB|，Q在线段PA上，所以|QA|＋|QB|＝|AQ|＋|QP|＝4，所以点Q的轨迹是椭圆，2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，∴b2＝3，所以C点的轨迹方程为＋＝1.(2)直线EF的方程为：y＝x－1.由消去y整理得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，|AB|＝·＝·＝.-12-\n18．(本小题满分12分)(2022·云南省二测)已知抛物线C的方程为y2＝4x，斜率为的直线l经过点P(a,0)，与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D.(1)当a＝12时，求证以AB为直径的圆与直线y＝2x＋4相切；(2)是否存在实数a，使△ABD是直角三角形？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当a＝12时，直线l：y＝(x－12)，即x＝2y＋12，代入y2＝4x中消去x得y2－8y－48＝0，∴y1＝－4，y2＝12，∴x1＝4，x2＝36，∴A(4，－4)，B(36,12)，∴以AB为直径的圆的圆心M(20,4)，半径r＝|AB|＝8，圆心M到直线y＝2x＋4的距离d＝8，∵d＝r，∴以AB的直径的圆与直线y＝2x＋4相切．(2)直线l：y＝(x－a)，∴x＝2y＋a，代入y2＝4x中得y2－8y－4a＝0，∴Δ＝24＋16a>0，∴a>－4，∴y1＋y2＝8，y1y2＝－4a，∴x1＋x2＝2(y1＋y2)＋2a＝16＋2a，∴线段AB的中点N(8＋a,4)，直线AB的斜率k＝，∴线段AB的中垂线方程为y－4＝－2(x－8－a)，当y＝0时，x＝10＋a，∴D(10＋a,0)，|AD|＝|BD|，∵△ABD为直角三角形，∴∠ADB＝，∴AD⊥DB.∵＝(2y1－10，y1)，＝(2y2－10，y2)，∴·＝0，∴y1y2－4(y1＋y2)＋20＝0，∴－4a－32＋20＝0，∴a＝－3>－4，∴存在a＝－3，使△ABD为直角三角形．19．(本小题满分12分)(文)(2022·湖南浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．[解析] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由条件知，解之得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)①当直线l⊥x轴时，可得A(－1，－)，B(－1，)，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，-12-\n可得|AB|＝.又圆F2的半径r＝，∴△AF2B的面积S＝|AB|·r＝＝，化简得，17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.(理)(2022·大连二十中期中)平面内动点P(x，y)与两定点A(－2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于－，若点P的轨迹为曲线E，过点(－1,0)作斜率不为零的直线MN交曲线E于点M、N.(1)求曲线E的方程；(2)求证：AM⊥AN；(3)求△AMN面积的最大值．[解析] (1)设动点P坐标为(x，y)，由题意知：x≠±2，由条件得：·＝－，化简得＋＝1.曲线E的方程为＋＝1，(x≠±2)．(2)直线MN斜率不为0，所以可设MN方程为my＝x＋1，与椭圆方程联立得：(m2＋3)y2－2my－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝.＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝＋＋1＝0，所以⊥，所以AM⊥AN.(3)△AMN面积为|y1－y2|＝＝，当m＝0时面积最大为1.20．(本小题满分12分)(文)(2022·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．-12-\n[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．(理)(2022·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．[解析] (1)设椭圆方程为＋＝1，(a>0，b>0)，∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝，∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1，则由消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴由＝2得x1＝－2x2，∴消去x2得()2＝，解得k2＝，∴k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.21．(本小题满分12分)(2022·开封四中期中)如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．-12-\n[解析] (1)由题意可得，e＝＝，将点(1，)代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，所以椭圆C的方程＋＝1.(2)证明：设直线BD的方程为y＝x＋m，又A，B，D三点互不重合，∴m≠0，设D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2＋2mx＋m2－4＝0.所以Δ＝－8m2＋64>0⇒－2<m<2.x1＋x2＝－m①x1x2＝②设直线AB，AD的斜率分别为kAB，kAD，则kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m·(*)将①、②式代入(*)整理得，2＋m·＝2－2＝0，所以kAD＋kAB＝0，即直线AB，AD的斜率之和为定值0.22．(本小题满分14分)(文)(2022·韶关市十校联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2(其中a>0)上任意一点与点P(0，)的距离等于它到直线y＝－1的距离．(1)求抛物线的方程；(2)若点M的坐标为(0,2)，N为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知P(0，)是其焦点，且＝1，∴a＝，抛物线方程为y＝x2.(2)设N(2x，x2)，则MN的中点H的坐标为H(x,1＋)．设直线l的方程为y＝c，则点H到直线l的距离为d＝|－c|，∴|MN|2＝4x2＋(x2－2)2＝x4＋4，设所求弦长为L，则L2＝|MN|2－4d2＝x4＋4－4(－c)2-12-\n＝4x2(c－1)＋8c－4c2，若弦长L恒为常数，即L的值与x的值无关，则c＝1，L＝2.所以存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数，直线l的方程为y＝1.(理)(2022·武汉市调研)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝－2x＋m(其中m<2)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．[解析] (1)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0，当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)，当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝，即＝，化简可得，3x2－y2－3＝0，而点(2，±3)也在曲线3x2－y2－3＝0上，综上可知，轨迹C的方程为x2－＝1(x>1)；(2)由消去y并整理得，x2－4mx＋m2＋3＝0(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，∴解得m>1，且m≠2，又∵m<2，∴1<m<2，设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|<|PR|及方程(*)有xR＝2m＋，xQ＝2m－，∴＝＝＝＝－1＋，-12-\n由1<m<2，得1<－1＋<7，故的取值范围是(1,7)．-12-
