阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2022·广东阳东一中、广雅中学联考)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 要使函数f(x)有意义，应有∴x>－1且x≠1，故选C.(理)(2022·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )A．(－，＋∞)B．(－，1)C．(－，)D．(－∞，－)[答案] B[解析] 为使f(x)＝＋lg(3x＋1)有意义，须解得－<x<1，故选B.2．(2022·石光中学段测)函数f(x)＝x－5＋2x－1的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案] C[解析] f(0)＝－4<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，故选C.3．(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)设a＝0.32，b＝20.3，c＝log0.34，则( )A．b<a<cB．c<b<aC．b<c<aD．c<a<b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log0.34<log0.31＝0，∴c<a<b.(理)(2022·湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)若a＝log23，b＝log32，c＝log4，则下列结论正确的是( )A．a<c<bB．c<a<bC．b<c<aD．c<b<a[答案] D-10-\n[解析] ∵a＝log23>log22＝1,0＝log31<b＝log32<log33＝1，c＝log4<log41＝0，∴c<b<a，故选D.4．(2022·湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )A．1B.C．－1D．－[答案] C[解析] 由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，因为4<log220<5，所以0<log220－4<1，－1<4－log220<0，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝－1，故选C.5．(文)(2022·石光中学段测)函数y＝log5(1－x)的大致图象是( )[答案] C[解析] 由1－x>0得x<1，排除A、B；又y＝log5(1－x)为减函数，排除D，选C.(理)(2022·江淮十校联考)函数f(x)＝的大致图象是( )[答案] B[解析] 由函数解析式可得f(x)为偶函数，当|x|≤1时，f(x)＝＝y≥0，即圆x2＋y2＝1位于x轴上方部分；当x>1时，f(x)＝，其图象在第一象限单调递减，所以选B.6．(2022·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A．f(x)＝B．f(x)＝lnxC．f(x)＝2xD．f(x)＝tanx[答案] C[解析] ∵≥0，lnx∈R,2x>0，tanx∈R，∴选C.-10-\n7．(文)(2022·甘肃民乐一中诊断)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|[答案] C[解析] y＝在(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内是奇函数，故排除A；y＝e－x在(0，＋∞)上是减函数，但不具备奇偶性，故排除B；y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数，故选C；y＝lg|x|在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故排除D.(理)(2022·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A．y＝cos2xB．y＝log2|x|C．y＝D．y＝x3＋1[答案] B[解析] y＝x3＋1是非奇非偶函数；y＝为奇函数；y＝cos2x在(1,2)内不是单调增函数，故选B.8．(2022·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )A．－3B．－1C．1D．3[答案] A[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.9.(2022·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线l：y＝kx＋t(k为常数)与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则关于函数S＝f(t)的奇偶性的判断正确的是( )A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关[答案] B[解析] 设直线OM、ON与正六边形的另一个交点分别为M′、N′，由于正六边形关于点O成中心对称，∴OM′＝OM，ON′＝ON，从而△OM′N′与△OMN成中心对称，设直线l交y轴于T，直线M′N′交y轴于T′，则|OT|＝|OT′|，且S△OM′N′＝S△OMN，即当t<0时，有S＝f(t)＝f(－t)，∴S＝f(t)为偶函数．10．(文)(2022·泸州市一诊)函数f(x)＝(1－)sinx的图象大致为( )-10-\n[答案] A[解析] 首先y＝1－为偶函数，y＝sinx为奇函数，从而f(x)为奇函数，故排除C、D；其次，当x＝0时，f(x)无意义，故排除B，选A.(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f(x)＝(1－cosx)sinx＝4sin3cos，∵f()＝1，∴排除D；∵f(x)为奇函数，∴排除B；∵0<x<π时，f(x)>0，排除A，故选C.11．(2022·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)＝()x－log2x，正实数a，b，c满足a<b<c且f(a)·f(b)·f(c)<0.若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d<a ②d>a ③d>c ④d<c中有可能成立的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] ∵y＝()x为减函数，y＝log2x为增函数，∴f(x)为减函数，由题意f(d)＝0，又a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，∴f(c)<0，f(a)>0，从而a<d<c，∴②④正确，选B.12．(2022·河北高阳中学月考)若函数f(x)＝1＋＋sinx在区间[－k，k](k>0)上的值域为[m，n]，则m＋n＝( )A．0 B．1 C．2 D．4[答案] D[解析] 令g(x)＝sinx，－k≤x≤k，则在关于原点对称的任意区间A上(A⊆[－k，k])，总有g(x)max＋g(x)min＝0，-10-\n令h(x)＝1＋，则h(x)＝3－，易知h(x)在[－k，k]上单调递增，设0<a≤k，则h(a)＋h(－a)＝(3－)＋(3－)＝4.∵f(x)在[－k，k]上的值域为[m，n]，∴m＋n＝4.[点评] 本题中抓住f(x)＋f(－x)＝4恒成立，及g(x)＝sinx在关于原点对称的区间上最大值与最小值之和为0，从题意中领会到m＋n是一个定值是解题的关键．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·营口三中期中)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)．若当0≤x＜1时，f(x)＝2x，则f(log26)＝________.[答案] [解析] ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2)，∵0<log2<1，∴f(log2)＝＝，∴f(log26)＝.14．(2022·宝安中学、仲元中学摸底)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________.[答案] [解析] ∵函数f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．∴2x＋2－xlga＋2－x＋2xlga＝0，即2x＋2－x＋lga(2x＋2－x)＝0恒成立，∴lga＝－1，∴a＝.15．(2022·洛阳市期中)函数f(x)＝的最大值与最小值之积等于________．[答案] －[解析] f(x)＝＝＝，当x>0时，x＋≥2等号在x＝1时成立，此时f(x)∈(0，]；当x<0时，x＋≤－2，等号在x＝－1时成立，此时f(x)∈[－，0)，又f(0)＝0，∴f(x)∈[－，]，∴最大值与最小值之积为－.16．(文)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．[答案] －3<a<1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：-10-\n可知函数f(x)在整个定义域上是单调递减的，由f(3－a2)<f(2a)可知，3－a2>2a，解得－3<a<1.(理)(2022·湖南省五市十校联考)下列命题：①函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数；②点A(1,1)，B(2,7)在直线3x－y＝0两侧；③数列{an}为递减的等差数列，a1＋a5＝0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n＝4时，Sn取得最大值；④定义运算＝a1b2－a2b1，则函数f(x)＝的图象在点(1，)处的切线方程是6x－3y－5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{an}为递减等差数列，∴d<0，∵a1＋a5＝0，∴a1>0，a5<0，且a3＝0，∴当n＝2或3时，Sn取得最大值，故③错；由新定义知f(x)＝x3＋x2－x，∴f′(x)＝x2＋2x－1，∴f′(1)＝2，故f(x)在(1，)处的切线方程为y－＝2(x－1)，即6x－3y－5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，有－x∈(0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.-10-\n当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－，从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.18．(本小题满分12分)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.(1)若函数y＝f(x)的图象与x轴无交点，求a的取值范围；(2)若函数y＝f(x)在[－1,1]上存在零点，求a的取值范围；(3)设函数g(x)＝bx＋5－2b，b∈R.当a＝0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)＝g(x2)，求b的取值范围．[解析] (1)∵f(x)的图象与x轴无交点，∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1.(2)∵f(x)的对称轴为x＝2，∴f(x)在[－1,1]上单调递减，欲使f(x)在[－1,1]上存在零点，应有即∴－8≤a≤0.(3)若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)值域的子集即可．∵函数y＝f(x)在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b>0时，g(x)在[1,4]上的值域为[5－b,2b＋5]，只需∴b≥6；当b＝0时，g(x)＝5不合题意，当b<0时，g(x)在[1,4]上的值域为[2b＋5,5－b]，只需∴b≤－3.综上知b的取值范围是b≥6或b≤－3.19．(本小题满分12分)(文)(2022·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．[解析] (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故解得(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，化为1＋()2－2·()≥k，令t＝，则k≤t2－2t＋1，因为x∈[－1,1]，故t∈[，2]，记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈[，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1]．(理)(2022·浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.-10-\n(2)g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2].20．(本小题满分12分)(2022·河北冀州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2(a＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)对任意m∈(0,2]，关于x的不等式f(x)<m3－mlnm－mt＋3在x∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f(0)＝a2＝1，且a＞0，可得a＝1.由已知，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3x2＋2bx＋c，∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2的单调递减区是(1,2)，∴f′(x)＜0的解是1＜x＜2.所以方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根分别是1和2，∴得∴f(x)＝x3－x2＋6x＋1.(2)由(1)，得f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，∵当x＞2时，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，x∈[2，＋∞)时，f(x)min＝f(2)＝3，要使f(x)<m3－mlnm－mt＋3在x∈[2，＋∞)上有解，应有m3－mlnm－mt＋3>f(x)min，∴m3－mlnm－mt＋3>3，mt<m3－mlnm对任意m∈(0,2]恒成立，即t<m2－lnm对任意m∈(0,2]恒成立．设h(m)＝m2－lnm，m∈(0,2]，则t＜h(m)min，h′(m)＝m－＝＝，令h′(m)＝0得m＝1或m＝－1，由m∈(0,2]，列表如下：m(0,1)1(1,2)2h′(m)－0＋h(m)↘极小值↗∴当m＝1时，h(m)min＝h(m)极小值＝，∴t<.21．(本小题满分12分)(2022·湖北龙泉中学、宜昌一中等四校联考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋-10-\n－1450(万元)．通过市场分析，每件商品售价定为500元，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)求年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，0<x<80时，L(x)＝(0.05×1000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－＋1450－250＝1200－(x＋)．所以L(x)＝(2)当0<x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950.当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－(x＋)≤1200－2＝1200－200＝1000，在x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．∵950<1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．22．(本小题满分14分)(2022·长春市十一高中阶段测试)设函数f(x)＝(x2＋2)lnx，g(x)＝2x2＋ax，a∈R.(1)证明：f(x)是(0，＋∞)上的增函数；(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，当x∈[1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立，求a的取值范围．[解析] (1)证明：要证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，只需证明f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，∵f′(x)＝2xlnx＋＋x，∴x(2lnx＋＋1)≥0，∴2lnx＋＋1≥0.设h(x)＝2lnx＋＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－＝，所以h(x)在(0，)上单调递减，(，＋∞)上单调递增，h(x)的最小值为h()＝ln2＋2>0，故f′(x)＝2xlnx＋＋x＝xh(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝(x2＋2)lnx－2x2－ax≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤在x∈[1，＋∞)上恒成立，-10-\n设G(x)＝则G′(x)＝，当1<x<或x>e时，G′(x)>0，当<x<e时，G′(x)<0，∴g(x)在(1，)上单调递增，在(，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．∴G(x)的最小值为G(1)，G(e)中较小的，∵G(e)－G(1)＝－e＋2>0，∴G(e)>G(1)，∴G(x)在x∈[1，＋∞)上的最小值为G(1)＝－2，∴a≤－2.-10-
