阶段性测试题七(不等式)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)已知a，b为非零实数且a<b，则下列命题成立的是( )A．a2<b2 B．ab2>a2bC．<D．<[答案] C[解析] 若a<b<0，可得a2>b2，知A不成立．若，可得a2b>ab2，知B不成立．若a＝1，b＝2，则＝2，＝有>，知D不成立，故选C．(理)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>，又因为x>⇒2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0⇒/x>，选A．2．(2022·邵阳模拟)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式，正确的是( )A．log2a>0B．2a－b<C．2＋<D．log2a＋log2b<－2[答案] D[解析] 当a＝，b＝时，选项A不成立；对于选项B，a－b＝－，2a－b＝2－＝()>()1＝，选项B错误；对于选项C，＋＝3＋，2＋＝23＋>2>，选项C错误，故选D．3．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )A．a<v<B．v＝-8-\nC．<v<D．v＝[答案] A[解析] 设从甲地到乙地的全程为s，则v＝＝∵0<a<b，∴a＋b<2b，a＋b>2，所以<<，则a<<，即a<v<.故选A．4．不等式x2－3x－10≥0的解集是( )A．(－∞，－2]∪[5，＋∞)B．[－2,5]C．(－∞，＋∞)D．∅[答案] A[解析] 因为根据一元二次不等式的解法，结合二次函数的图像及根的大小，可知x2－3x－10≥0⇔(x－5)(x＋2)≥0⇔x≥5或⇔x≤－2，可知不等式x2－3x－10≥0的解集是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．故答案为A．5．已知x，y满足线性约束条件则的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，＋∞)[答案] A[解析] 作出不等组表示的可行域，可知k＝，表示可行域内的点与P(0，－1)，连线的斜率，所以k≥kPC＝1，故选A．6．(2022·温州一模)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为图中的( )-8-\n[答案] B[解析] ∵ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，∴a<0且－2,1为方程ax2－x－c＝0的两根．∴，∴.∴f(x)＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)．故选B．7．(2022·北京高考)若x、y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )A．2B．－2C．D．－[答案] D[解析] 如图，作出所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y－x＝－4，即x－y－4＝0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x－y＋z＝0在x轴上的截距的相反数，故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，故k＝＝－.故选D．8．某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业( )年后需要更新设备．( )A．10B．11C．13D．21[答案] A[解析] 由题意可知x年的维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年平均维护费用为y＝＝x＋＋1.5，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A．9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f′(x)>0，则满足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范围是( )A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)-8-\nC．(－3,3)D．(1,3)[答案] D[解析] 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)内单调递减，所以由f(x2－2x)<f(x)可得|x2－2x|<|x|，解得1<x<3，所以满足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范围是(1,3)．10．若函数f(x)＝，若af(－a)>0，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] A[解析] 若a>0，则由af(－a)>0得，aa>0，解得0<a<1.若a<0，则由af(－a)>0得，alog2(－a)>0，即log2(－a)<0解得0<－a<1，所以－1<a<0.综上0<a<1或－1<a<0，选A．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．[答案] 2[解析] 解法1：由m(x－1)>x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，所以m＝2.解法2：由条件知，x＝2是方程m(x－1)＝x2－x的根，∴m＝2.12．(文)(2022·湖南高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．[答案] 7 [解析] 本题考查了简单线性规划最优解问题．可行域如图，要使z＝2x＋y最大，则该直线过点A，而点A的坐标由可得，A(3,1)，∴zmax＝2×3＋1＝7.(理)(2022·湖南高考)若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.[答案] －2[解析] 本题考查线性规划中参数的求值问题．求出约束条件中三条直线的交点为(k，k)，(4－k，k)，(2,2)，且y≤x，x＋y≤4的可行域如图，所以k≤2，要使z＝2x＋y最小，该直线过点A(k，k)，∴3k＝－6⇒k＝－2，故填－2.-8-\n13．已知向量a＝(x，－2)，b＝(y,1)，其中x，y都是正实数，若a⊥b，则t＝x＋2y的最小值是________．[答案] 4[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝(x，－2)·(y,1)＝0，即xy＝2，又t＝x＋2y≥2＝4，所以t＝x＋2y的最小值是4.14．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．[答案] (－∞，0][解析] ∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值为0.∴a的取值范围为(－∞，0]．15．已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝2对称，若f(x)＝4x－15，则不等式≥0的解集是________．[答案] (－∞，－1)∪[，1)[解析] 若f(x)＝4x－15，则g(x)＝f(4－x)＝4(4－x)－15＝1－4x，故不等式≥0等价于≥0，即(x－1)(x＋1)(4x－1)≤0(x≠1且x≠－1)，解得x<－1或≤x<1.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．[解析] (1)∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}．∴k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根．∴x1x2＝6，x1＋x2＝－5.∴k＝－.(2)由于k≠0，要使不等式解集为∅，只需，即，解得k≥.-8-\n即k的取值范围是k≥.17．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，解关于x的不等式loga(x－)<0的解集．[解析] 因为关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，所以a>1，故loga(x－)<0⇔⇔－1<x<或1<x<，∴原不等式的解集是(－1，)∪(1，)．18．(本小题满分12分)已知向量a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，其中m∈R.若f(x)＝a·B．(1)当m＝3时解不等式f(x)<x；(2)如果f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，求实数m的取值范围．[解析] 由于a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，所以f(x)＝a·b＝－x2＋(m＋1)x.(1)当m＝3时，f(x)＝－x2＋4x，不等式f(x)<x，即－x2＋4x<x，解得x>3或x<0，所以m＝3时，不等式f(x)<x的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．(2)如果f(x)＝－x2＋(m＋1)x在(－2，＋∞)上单调递减，则有≤－2，解得m≤－5，所以实数m的取值范围是m≤－5.19．(本小题满分12分)已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.[解析] 由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知，α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域，即，画出可行域如图，所以S＝.20．(本小题满分13分)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)；-8-\n(2)求f(x)；(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范围．[解析] (1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，∴f(x)＝x2＋x－2.(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax<x2＋x＋3，∵x∈(0,2)，∴a<＝1＋x＋.当x∈(0,2)时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，由∈(0,2)，得(1＋x＋)min＝1＋2.∴a<1＋2.21．(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[分析] (1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求最值，得出结论；(2)先由限制条件确定x的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论．[解析] (1)设污水处理池的宽为x(x>0)m，则长为m.则总造价f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋12960(x>0)≥1296×2＋12960＝38880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知，-8-\n∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10＋)＋12960＝38882(元)．∴当长为16m，宽为10m时，总造价最低，为38882元．-8-
