阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )A．(2,4) B．(3,7)C．(1,1)D．(－1，－1)[答案] D[解析] 因为＝(2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(－1，－1)，即＝＝(－1，－1)．选D．2．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( )A．(－2,1)B．(2，－1)C．(2,0)D．(4,3)[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算．b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选C．3．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于( )A．2－B．－＋2C．－D．－＋[答案] A[解析] 由题意知＝－，故＝＋＝－＝－(－)＝2－.4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )A．0B．2C．D．3[答案] B[解析] 由题意得，a＋b＝c，且|c|＝，∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2.5．已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )A．－B．C．－D．[答案] C-8-\n[解析] 向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)(a－2b)＝0，又因为a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.6．(2022·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )A．－2B．－1C．1D．2[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.7．(2022·皖南八校联考)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案] A[解析] (－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．8．(2022·保定调研)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为( )A．{－1}B．∅C．{0}D．{0，－1}[答案] A[解析] ∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，即＝－x2＋(1－x)，∴－x2＋(1－x)＝1，即x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，∴x＝－1.9．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于( )A．B．－C．D．－[答案] A[解析] 由|2a＋b|＝|a－2b|知-8-\n3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.而|a|＝1，|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故β－α＝，选A．10．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·等于( )A．B．C．3D．2[答案] C[解析] 由2＋＋＝0，得＋＋＋＝＋＝0，所以＝－＝，即O是BC的中点，所以BC为外接圆的直径，BC＝2，则∠BAC＝90°，因为||＝||，所以△ABO为正三角形，所以∠ABO＝60°，∠ACB＝30°，且|AC|＝，所以·＝||·||·cos30°＝2××＝3，选C．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)若A、B、C、D四点共线，且满足＝(3a,2a)(a≠0)，＝(2，t)，则t＝________.[答案] [解析] 因为A、B、C、D四点共线，所以3at－4a＝0，又a≠0，所以t＝.(理)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，若a∥B．则锐角θ＝________.[答案] 45°[解析] 因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得cos2θ＝，cosθ＝±，锐角θ为θ＝45°.12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是________．[答案] 4,0[解析] 2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，|2a－b|＝＝＝，最大值为4，最小值为0.-8-\n13．(2022·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算．∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝＝2，∴a·b＝2××cos60°＝10.14．(2022·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．[答案] 22[解析] 本题考查向量的线性运算及向量的数量积．由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2，即2＝25－·－×64，解得·＝22.借助·表示出·是解决本题的关键所在．15．以下命题：①若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；②a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为；③若△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则·＝20；④若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则|2b|>|a＋2b|.其中所有真命题的标号是________．[答案] ①②④[解析] 由|a·b|＝|a|·|b||cos<a，b>|＝|a|·|b|，所以cos<a，b>＝±1，即<a，b>＝0或<a，b>＝π，所以a∥b，所以①正确．a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝＝＝，所以②正确．cosC＝＝，即C＝60°，所以·＝||·||cos120°＝5×8×(－)＝－20，所以③错误．由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，则有4b2>a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，显然成立，所以④正确．综上真命题的标号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)-8-\n16．(本小题满分12分)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．[解析] ∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)．∴3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.∴a与b不共线，故一定能以a，b作为平面内的所有向量的一组基底．设c＝λa＋ub即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u)＝(3λ－2u，－2λ＋u)，∴，解得∴c＝a－2B．17．(本小题满分12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．[解析] (1)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，∵A、B、C三点共线，∴与共线，∴3(1－m)＝2－m，∴m＝.(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0⇒m>－又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°故m∈∪.18．(本小题满分12分)A、B、C是△ABC的内角，a、b、c分别是其对边，已知m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n，B为锐角．(1)求B的大小；(2)如果b＝3，求△ABC的面积的最大值．[解析] (1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2－1)－(－)cos2B＝0，∴sin2B＋cos2B＝0，∴2sin(2B＋)＝0，∴2B＋＝kπ(k∈Z)，∴B＝－，-8-\n∵B为锐角，∴B＝.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，∴9＝a2＋c2－ac，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤9.等号在a＝c时成立，∴S△ABC＝acsinB≤×9×＝.故△ABC的面积的最大值为.19．(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为.(1)求|a＋2b|；(2)若向量a＋2b与ta＋b垂直，求实数t的值．[解析] (1)∵向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，∴|a＋2b|＝＝＝＝2.(2)∵向量a＋2b与ta＋b垂直，∴(a＋2b)·(ta＋b)＝0，∴ta2＋(2t＋1)a·b＋2b2＝0，∴4t＋(2t＋1)×2×1×cos＋2＝0，解得t＝－.20．(本小题满分13分)如图所示，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝B．(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．[解析] (1)由题意知，A是BC的中点，且＝.由平行四边形法则，可得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－B．(2)如题图，∥，又因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，-8-\n且＝2a－b，所以＝，所以λ＝.21．(本小题满分14分)(文)已知向量OP＝(2cos(＋x)，－1)，OQ＝(－sin(－x)，cos2x)，定义函数f(x)＝OP·OQ.(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.[解析] (1)f(x)＝OP·OQ＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，∴f(x)的最大值和最小值分别是和－.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A－)＝.∴2A－＝或2A－＝.∴A＝或A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝，∵bc＝8，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×＝2.(理)已知O为坐标原点，向量OA＝(sinα，1)，OB＝(cosα，0)，OC＝(－sinα，2)，点P满足AB＝BP.(1)记函数f(α)＝PB·CA，α∈(－，)，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；(2)若O，P，C三点共线，求|OA＋OB|的值．[解析] (1)AB＝(cosα－sinα，－1)，设OP＝(x，y)，则BP＝(x－cosα，y)．由AB＝BP得x＝2cosα－sinα，y＝－1，故OP＝(2cosα－sinα，－1)．PB＝(sinα－cosα，1)，CA＝(2sinα，－1)．f(α)＝PB·CA＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1)＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－sin(2α＋)，又α∈(－，)，故0<2α＋<，-8-\n当0<2α＋≤，即－<α≤时，f(α)单调递减；当<2α＋<，即<α<时，f(α)单调递增，故函数f(α)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(－，]，因为sin(2α＋)∈(－，1]，故函数f(α)的值域为[－，1)．(2)OP＝(2cosα－sinα，－1)，OC＝(－sinα，2)，由O，P，C三点共线可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝.sin2α＝＝＝.∴|OA＋OB|＝＝＝.-8-
