阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·山西大学附中月考)已知角θ的终边过点P(－4k,3k)(k<0)，则2sinθ＋cosθ的值是( )A. B．－C.或－D．随着k的取值不同其值不同[答案] B[解析] ∵k<0，∴|OP|＝－5k，∴sinθ＝－，cosθ＝，∴2sinθ＋cosθ＝－.2．(文)(2022·山东莱芜期中)为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位[答案] D[解析] ∵y＝sin(2x－)＝sin2(x－)，∴选D.(理)(2022·山东省菏泽市期中)要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移( )个单位即可( )A.B．πC.D．[答案] D[解析] ∵sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，∴只需将y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位可得到y＝sin(2x－)的图象．3．(文)(2022·威海期中)角α的终边经过点P(sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( )A．10° B．80°C．－10°D．－80°[答案] D[解析] 由条件知tanα＝＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.(理)(2022·北京海淀期中)在△ABC中，若tanA＝－2，则cosA＝( )-12-\nA.B．－C.D．－[答案] B[解析] 在△ABC中，若tanA＝－2，则A∈(，π)，cosA＝－＝－＝－，故选B.4．(2022·山东滕州一中月考)化简的结果是( )A．－1B．1C．tanαD．－tanα[答案] C[解析] 原式＝＝tanα.5．(2022·江西省三县联考)在△ABC中，若sinAsinBsinC＝345，则cosA的值为( )A.B．C．0D．1[答案] B[解析] 由正弦定理得abc＝sinAsinBsinC＝345，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，∴cosA＝＝＝.6．(2022·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为( )A.B．－C．－D．－[答案] B[解析] 把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m＝±，又α为第三象限角，∴m＝－.7．(2022·山东烟台期中)已知方程＝k在(0，＋∞)有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是( )A．tan(α＋)＝B．tan(α＋)＝-12-\nC．tan(β＋)＝D．tan(β＋)＝[答案] C[解析] ∵方程＝k在(0，＋∞)内有两个不同解α、β(α<β)，∴函数y＝|sinx|与y＝kx的图象在(0，＋∞)内有两不同交点，交点的横坐标为α、β，∴直线y＝kx与y＝－sinx(π<x<2π)相切，且切点横坐标为β，从而有k＝－cosβ，且kβ＝－sinβ，∴β＝tanβ，∴tan(β＋)＝＝，故选C.8．(2022·九江市七校联考)在△ABC中，AC＝7，∠B＝，△ABC的面积S＝，则AB＝( )A．5或3B．5C．3D．5或6[答案] A[解析] 设AB＝x，BC＝y，则x>0，y>0，由条件得，即则或∴AB＝3或5.9．(2022·安徽程集中学期中)在△ABC中，“sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sinA≥1，∴sinA＝1，∴A为直角，但△ABC为直角三角形时，不一定A为直角，故选A.10．(2022·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是( )A．8B．6C．3D．4[答案] D[解析] ＋＝，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝，①而条件中的“高”容易联想到面积，a·a＝bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＋＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D.11．(文)(2022·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )-12-\nA．y＝sin(2x＋)B．y＝sin(2x＋)C．y＝sin(2x－)D．y＝sin(2x－)[答案] D[解析] 最小正周期为π，不起作用，把x＝代入解析式，函数取到最值，经检验D符合．(理)(2022·洛阳市期中)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1，则实数m的值等于( )A．±1B．－3或1C．±3D．－1或3[答案] B[解析] 由f(t＋)＝f(－t)得，f(＋t)＝f(－t)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，又f()＝－1，∴m±2＝－1，∴m＝1或－3.12．(2022·福州市八县联考)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A．[，]B．[，]C．(0，]D．(0,2][答案] A[解析] 由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋及ω>0得，＋≤x≤＋，k∈Z.∵f(x)在(，π)上单调递减，∴(，π)⊆[＋，＋]，∴k＝0，∴≤ω≤，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·韶关市十校联考)在△ABC中，sinC＝，cosB＝－，则角cosA＝________.[答案] [解析] ∵cosB＝－，0<B<π，∴sinB＝，且B为钝角，∴C为锐角，∵sinC＝，∴cosC＝，-12-\n∴cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC＝×－(－)×＝.14．(2022·吉林延边州质检)设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若△ABC的面积为S＝a2－(b－c)2，则＝________.[答案] 4[解析] ∵S＝bcsinA，a2－(b－c)2＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccosA，S＝a2－(b－c)2，∴bcsinA＝2bc－2bccosA，∴＝4.15．(2022·江西师大附中、临川一中联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y＝Acosωx.[答案] [解析] 由函数的图象可得A＝1，T＝·＝π－＝，∴ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝，∴函数f(x)＝sin(2x＋)．把函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2(x＋)＋]，即y＝cos2x的图象．16．(文)(2022·湖南师大附中月考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且sinφ<0，则f(x)的单调递增区间是________．[答案] [kπ＋，kπ＋](k∈Z)[解析] 由条件知|f()|＝|sin(＋φ)|＝1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∴φ＝kπ＋，∵sinφ<0，∴取k＝1，φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)．-12-\n由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ－.(理)(2022·甘肃临夏中学期中)函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，则如下结论中正确的序号是________．①图象C关于直线x＝π对称；②图象C关于点(，0)对称；③函数f(x)在区间(－，)内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.[答案] ①②③[解析] ①当x＝时，f()＝3sin＝－3，∴正确；②当x＝时，f()＝0，∴正确；③由2kπ－≤2x－≤2kπ＋可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)，∴正确；④y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin2(x－)，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·韶关市十校联考)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；(2)若x∈[－，]，求f(x)的值域．[解析] (1)因为点P(1，－)在角α的终边上，所以sinα＝－，cosα＝，所以f(α)＝sin2α－2sin2α＝2sinαcosα－2sin2α＝2×(－)×－2×(－)2＝－3.(2)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝2sin(2x＋)－1，因为x∈[－，]，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin(2x＋≤1，所以f(x)的值域是[－2,1]．18．(本小题满分12分)(文)(2022·辽宁师大附中期中)设△-12-\nABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．[解析] (1)∵cosB＝，∴sinB＝.由正弦定理＝，可得＝.∴a＝.(2)∵△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，S＝3，∴ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.∴(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，∴a＋c＝2.(理)(2022·甘肃会宁二中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知＝.(1)求A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．[解析] (1)由条件结合正弦定理得，＝＝，从而sinA＝cosA，tanA＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)解法一：由已知：b>0，c>0，b＋c>a＝6，由余弦定理得：36＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－(b＋c)2＝(b＋c)2，(当且仅当b＝c时等号成立)，∴b＋c≤12，又b＋c>6，∴6<b＋c≤12，从而b＋c的取值范围是(6,12]．解法二：由正弦定理得：＝＝＝4.∴b＝4sinB，c＝4sinC，∴b＋c＝4(sinB＋sinC)＝4[sinB＋sin(－B)]＝4(sinB＋cosB)＝12(sinB＋cosB)＝12sin(B＋)．-12-\n∵<B＋<，∴6<12sin(B＋)≤12，即6<b＋c≤12(当且仅当B＝时等号成立)，从而b＋c的取值范围是(6,12]．19．(本小题满分12分)(文)(2022·马鞍山二中期中)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈(，)．(1)若||＝||，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值．[解析] (1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由||＝||，可得2＝2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又∵α∈(，)，∴α＝.(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝.①又＝＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－.∴＝－.(理)(2022·辽宁师大附中期中)已知向量a＝(2sinx，sinx－cosx)，b＝(cosx，(cosx＋sinx))，函数f(x)＝a·b＋1.(1)当x∈[，]时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求f(x)的单调区间．[解析] (1)f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1.∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，∴≤sin(2x－)≤1，∴1≤2sin(2x－)≤2，-12-\n于是2≤2sin(2x－)＋1≤3，∴f(x)的最大值是3，最小值是2.(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得，f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.20．(本小题满分12分)(2022·马鞍山二中期中)如图A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)nmile的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，该救援船到达D点需要多长时间？[解析] 由题意知AB＝5(3＋)nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得，＝∴DB＝＝＝＝＝10(nmile)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(nmile)，在△DBC中，由余弦定理得，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(nmile)，则需要的时间t＝＝1(h)．-12-\n答：救援船到达D点需要1h.21．(本小题满分12分)(文)(2022·深圳市五校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.(1)求f()的值；(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．[解析] (1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－.∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－，∴f()＝sin(2×－)－＝sin－＝－1.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，∵sinA>0，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.∵A＋C＝π－B＝π，∴A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，∴sin(2A－)∈(－，1]，∴f(A)＝sin(2A－)－∈(－1，]．(理)(2022·浙江省五校联考)已知函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)cosωx－，其中ω>0，f(x)的最小正周期为4π.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．[解析] f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)．∵＝4π，∴ω＝，f(x)＝sin(＋)．(1)由2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)得：-12-\n4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间是[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．(2)由正弦定理得，(2sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA>0，∴cosB＝，∵0<B<π，∴B＝，∴0<A<，<＋<，∴f(A)∈(，1)．22．(本小题满分14分)(文)(2022·四川巴中市诊断)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．[解析] (1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，因为C为锐角，所以C＝，在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.(理)(2022·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，]上的取值范围．[解析] (1)∵f(x)＝a·b＋λ＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·2cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，-12-\n又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝.∴f(x)＝2sin(x－)＋λ，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(，0)，∴f()＝2sin(×－)＋λ＝0，故λ＝－2sin＝－.故f(x)＝2sin(x－)－，∵0≤x≤，∴－≤x－≤，∴－≤sin(x－)≤1，∴－1－≤2sin(x－)－≤2－，故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．-12-
