第4讲简单的三角恒等变形1．若tanθ＝，则＝( )A. B．－C.D．－解析：选A.＝＝tanθ＝.2．(2022·赣州联考)化简＝( )A．1B.C.D．2解析：选C.原式＝＝＝＝＝.3．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝( )A.B.C.D．1解析：选D.因为tanβ＝，所以tanβ＝＝tan.又α、β均为锐角，所以β＝－α，即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝1.4．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )A.B.C.D.解析：选C.因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.7\n又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.5．若0<α<，－<β<0，cos＝，sin＝，则cos＝( )A.B．－C.D．－解析：选C.由已知得<＋α<，<－<，所以sin＝，cos＝，cos＝cos＝coscos＋sinsin＝.6．(2022·温州八校联考)若sinα＋cosα＝，0<α<π，则sin2α＋cos2α的值为( )A.B.C.D.解析：选C.因为sinα＋cosα＝<1且0<α<π，所以α为钝角．又由sinα＋cosα＝得1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－1＋＝－，sinα－cosα＝7\n＝＝＝，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－(sinα＋cosα)·(sinα－cosα)＝－×＝－，从而sin2α＋cos2α＝＋＝.7．设α是第二象限角，tanα＝－，且sin＜cos，则cos＝________．解析：因为α是第二象限角，所以可能在第一或第三象限．又sin＜cos，所以为第三象限角，所以cos＜0.因为tanα＝－，所以cosα＝－，所以cos＝－＝－.答案：－8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________．解析：因为cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝，又α∈，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＝＝，所以cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案：9.已知锐角α，β满足：sinβ－cosβ＝，tanα＋tanβ＋tanα·tanβ＝，则cosα＝________．解析：由tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，得tan(α＋β)＝，α，β∈7\n，α＋β＝，所以sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝.对sinβ－cosβ＝平方得1－2sinβcosβ＝，2sinβcosβ＝，sinβ＋cosβ＝＝ ＝.联立sinβ－cosβ＝，得sinβ＝，cosβ＝，故cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝×＋×＝.答案：10．(2022·济南模拟)设α∈，β∈，且5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，则cos(α＋β)的值为________．解析：由5sinα＋5cosα＝8，得sin＝，因为α∈，α＋∈，所以cos＝.又β∈，β＋∈，由已知得sin＝.所以cos＝－.所以cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos＋cos·sin7\n＝－.答案：－11．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.1．4cos50°－tan40°＝( )A.B.C.D．2－1解析：选C.4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.2．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．7\n解：(1)法一：因为cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，所以cosβ＋sinβ＝，所以1＋sin2β＝，所以sin2β＝－.法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)因为0<α<<β<π，所以<β－<π，<α＋β<.所以sin>0，cos(α＋β)<0，因为cos＝，sin(α＋β)＝，所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)·sin＝－×＋×＝.3．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解：(1)因为tan＝，所以tanα＝＝＝.7\n由解得sinα＝(sinα＝－舍去)．(2)由(1)知cosα＝＝＝，又0<α<<β<π，所以β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝.所以sin(β－α)＝＝＝，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝.又β∈，所以β＝.7
