阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·石光中学段测)函数f(x)＝x－5＋2x－1的零点所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[答案] C[解析] f(0)<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，故选C．2．(2022·重庆南开中学月考)函数f(x)＝的定义域为( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(1,2)[答案] D[解析] 由题意得，，解得1<x<2.3．(2022·山东省菏泽市期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝3，则f(8)－f(4)的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．2[答案] C[解析] ∵f(1)＝1，f(2)＝3，f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－3，∵f(x)周期为5，∴f(8)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－2.4．(2022·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝( )A．338 B．337C．1678 D．2022[答案] B[解析] ∵定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数．又当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0,2022＝6×335＋3，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B．5．(文)(2022·石光中学段测)函数y＝log5(1－x)的大致图象是( )[答案] C-8-\n[解析] 由1－x>0得x<1，排除A、B；又y＝log5(1－x)为减函数，排除D，选C．(理)(2022·山东省德州市期中)函数y＝的一段图象是( )[答案] D[解析] 首先f(－x)≠±f(x)，f(x)为非奇非偶函数，排除B、C；其次，x＝2时，y＝>0，排除A，故选D．6．(2022·西安一中期中)P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则( )A．R<Q<P B．P<R<QC．Q<R<P D．R<P<Q[答案] A[解析] P＝log23>log22＝1，Q＝log32＝∈(0,1)，R＝log2(log32)<0，∴R<Q<P，故选A．7．(2022·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3[答案] A[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.8．(2022·许昌、平顶山、新乡三市调研)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝()lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>b>c D．b>a>c[答案] B[解析] ∵<x<1，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝()lnx∈(1,2)，c＝elnx＝x，∴b>c>a.9．(2022·沈阳市东北育才中学一模)规定a⊗b＝＋2a＋b，a、b∈R＋，若1⊗k＝4，则函数f(x)＝k⊗x的值域为( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[，＋∞) D．[，＋∞)[答案] A[解析] 由1⊗k＝4得2＋k＋＝4，∴k＝1，-8-\n∴f(x)＝k⊗x＝1⊗x＝x＋＋2＝()2＋＋2>2.10．(2022·北京东城区联考)下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( )A．y＝lgx B．y＝cosxC．y＝|x| D．y＝sinx[答案] D[解析] y＝|x|与y＝cosx为偶函数，y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，故A、B、C都不对，选D．11．(2022·抚顺二中期中)若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝，则f(x)的“姊妹点对”有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案] C[解析] 由姊妹点对的定义知，若(A，B)为f(x)的一个姊妹点对，则A、B分别在f1(x)＝x2＋2x(x<0)与f2(x)＝(x≥0)的图象上，设A(x0，y0)，则y0＝x＋2x0，B(－x0，－y0)，∴＝－x－2x0，∴ex0＝－x－x0＝－(x0＋1)2＋，在同一坐标系中作出函数y＝ex(x<0)与y＝－(x＋1)2＋(x<0)的图象知，两图象有且仅有两个交点，故f(x)的姊妹点对有2个．12．(2022·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)＝()x－log2x，正实数a，b，c满足a<b<c且f(a)·f(b)·f(c)<0.若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d<a ②d>a ③d>c ④d<c中有可能成立的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] ∵y＝()x为减函数，y＝log2x为增函数，∴f(x)为减函数，由题意f(d)＝0，又a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，∴f(c)<0，f(a)>0，从而a<d<c，∴②④正确，选B．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·宝安中学、仲元中学摸底)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________.[答案] [解析] ∵函数f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．∴2x＋2－xlga＋2－x＋2xlga＝0，即2x＋2－x＋lga(2x＋2－x)＝0恒成立，∴lga＝－1，∴a＝.14．(2022·泸州市一诊)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是________．-8-\n[答案] (－∞，－5][解析] ∵x≥0时，f(x)＝x2，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数，∵f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，∴x＋a≥3x＋1恒成立，∴a≥2x＋1恒成立，∵x∈[a，a＋2]，∴a≥2(a＋2)＋1，∴a≤－5.15．(2022·洛阳市期中)函数f(x)＝的最大值与最小值之积等于________．[答案] －[解析] f(x)＝＝＝，当x>0时，x＋≥2等号在x＝1时成立，此时f(x)∈(0，]；当x<0时，x＋≤－2，等号在x＝－1时成立，此时f(x)∈[－，0)，又f(0)＝0，∴f(x)∈[－，]，∴最大值与最小值之积为－.16．(2022·泗阳中学、盱眙中学联考)在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是________．[答案] (1，][解析] ∵a＝csinA，b＝ccosA，h＝bsinA＝csinAcosA，设＝y，则y＝＝，令t＝sinA＋cosA，∵0<A<，∴t＝sin(A＋)∈(1，]，sinAcosA＝，∴y＝＝＋，∴y′＝－＝(1－)>0，∴y＝＋在(1，]上为增函数，∴1<y≤.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝2ax2＋4x－3－a，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f(x)在R上有两个不同的零点，求a的取值范围．[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝2x2＋4x－4＝2(x2＋2x)－4＝2(x＋1)2－6.因为x∈[－1,1]，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2.(2)∵∴∴a<－2或－1<a<0或a>0，∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2022·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，-8-\n即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，有－x∈(0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－，从而x∈[－5，－4]，函数f(x)＝－.19．(本小题满分12分)(2022·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．[解析] (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故解得(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，化为1＋()2－2·()≥k，令t＝，则k≤t2－2t＋1，因为x∈[－1,1]，故t∈[，2]，记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈[，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1]．20．(本小题满分12分)(文)(2022·长沙调研)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠1)．(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．[解析] (1)由题得由②得log2a＝0或log2a＝1，解得a＝1(舍去)或a＝2，由a＝2得k＝2.(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2，当log2x＝即x＝时，f(logax)有最小值，最小值为.(理)(2022·南通市调研)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围．[解析] (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，当k＝2时f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，-8-\nf(－x)＝－f(x)成立，函数f(x)是奇函数，∴k＝2.另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)ax＝－ax＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(ax＋a－x)＝0，又∵ax＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵y＝ax单调递减，y＝a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.21．(本小题满分12分)(2022·吉安一中上学期期中考试)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)若关于x的方程F(x)－m＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．[解析] (1)F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2loga(x＋1)＋loga(a>0且a≠1)由解得－1<x<1，所以函数F(x)的定义域为(－1,1)．令F(x)＝0，则2loga(x＋1)＋loga＝0(*)方程变为loga(x＋1)2＝loga(1－x)，(x＋1)2＝1－x，即x2＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－3.经检验x＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x＝0，所以函数F(x)的零点为0.(2)m＝2loga(x＋1)＋loga(0≤x<1)，m＝loga＝loga(1－x＋－4)，am＝1－x＋－4，设1－x＝t∈(0,1]，则函数y＝t＋在区间(0,1]上是减函数，当t＝1时，x＝0，此时ymin＝5，所以am≥1.①若a>1，则m≥0，方程有解；②若0<a<1，则m≤0，方程有解．22．(本小题满分14分)(文)(2022·韶关市曲江一中月考)如图是函数f(x)＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝f′(x)的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)-8-\n(1)求函数f(x)的极小值点和单调递减区间；(2)求实数a的值．[解析] (1)由图象可知：当x<1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数；当1<x<3时，f′(x)<0，f(x)在(1,3)上为减函数；当x>3时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)为增函数；∴x＝3是函数f(x)的极小值点，函数f(x)的单调减区间是(1,3)．(2)f′(x)＝ax2－4x＋3a2，由图知a>0且∴∴a＝1.(理)(2022·屯溪一中期中)已知函数f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)讨论函数h(x)＝的单调性；(2)如果存在x1、x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意s、t∈[，2]，都有f(s)>g(t)成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)h(x)＝＋lnx，h′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)，①当a≤0时，由于x>0所以h′(x)>0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a>0时，h′(x)≥0⇒x≥，函数h(x)的单调递增区间为(，＋∞)；h′(x)≤0⇒0<x≤，函数h(x)的单调递减区间为(0，)．(2)存在x1、x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.∵g(x)＝x3－x2－3，∴g′(x)＝3x2－2x＝3x(x－)，当x变化时，g(x)和g′(x)的变化情况如下表：x0(0，)(，2)2g′(x)0－0＋g(x)－3递减极小值－递增1由上表可知：g(x)min＝g()＝－，g(x)max＝g(2)＝1，[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝，所以满足条件的最大整数M＝4.(3)∵x∈[，2]时，g(x)的最大值为1，∴问题等价转化为当x∈[，2]时，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立，-8-\n等价于a≥x－x2lnx恒成立．记h(x)＝x－x2lnx，所以a≥h(x)max.h′(x)＝1－2xlnx－x＝(1－x)－2xlnx，h′(1)＝0，当x∈[，1)时，1－x>0，xlnx<0，∴h′(x)>0，即函数h(x)＝x－x2lnx在区间[，1)上递增，当x∈(1,2]时，1－x<0，xlnx>0，∴h′(x)<0，即函数h(x)＝x－x2lnx在区间(1,2]上递减，∴当x＝1时，函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)＝1，所以a≥1.-8-
