【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系北师大版一、选择题1．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是( )A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0[答案] D[解析] 设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，∴＝1.∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.2．(文)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离[答案] B[解析] 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．(理)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<.所以直线与圆相交，故选C．3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B-8-\n两点，则弦AB的长等于( )A．3B．2C．D．1【答案】 B【解析】 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝，∴弦长|AB|＝2.4．(2022·湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21B．19C．9D．－11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝，由两圆外切的性质知，5＝1＋，∴m＝9.5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)，作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则△PAB的外接圆的方程为( )A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5[答案] D[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上，故圆心为(2,1)，半径为r＝，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.6．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，则点P的横坐标取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．[－，－]D．(－，－)[答案] C-8-\n[解析] 过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝，设点P(x0,2x0＋1)，其方程是y－2x0－1＝(x－x0)，由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可解得．二、填空题7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得弦长为________．[答案] 2[解析] 本题考查直线与圆的知识，画出示意图，构造直角三角形求解．由C(0,2)及直线y＝x知，CE＝＝，而CO＝2，则OE＝＝，∴弦长为2.8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[答案] 2[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想．点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝，则弦长为2＝2.9．(文)(2022·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝4[解析] 本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．∵圆心在x－2y＝0上，设圆心(2b，b)，由圆与y轴相切，∴r＝2|b|-8-\n又截x轴弦长2，圆心到x轴距离d＝|b|∴在Rt△CAB中，r2＝4b2＝b2＋()2，∴b2＝1又圆C与y轴正半轴相切．故b>0，∴b＝1.∴方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.(理)(2022·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.[答案] 2[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin45°＝，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.三、解答题10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．[解析] (1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零．设直线l的方程为x＋y＝a，∵直线l与圆C相切，∴＝，∴a＝－1或a＝3.∴所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，∴2x－4y＋3＝0，∴所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.一、选择题1．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P-8-\n点的轨迹方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25D．(x－1)2＋y2＝5[答案] B[解析] 圆心C(－1,0)，在Rt△ACP中，CP＝＝＝.设P(x，y)，则|CP|＝，所以(x＋1)2＋y2＝5，选B．2．(2022·福建高考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝2＝，∴S△OAB＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A．二、填空题3．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案] [解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力．由题意知切线的斜率存在，设为k，切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由点到直线的距离公式，得＝，解得k＝－，∴切线方程为－x－y＋＝0，-8-\n令x＝0，y＝，令y＝0，x＝5，∴三角形面积为S＝××5＝.4．圆心在直线x＋y＝0上，且过圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程为________．[答案] x2＋y2＋6x－6y＋8＝0[解析] 设圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0(λ≠－1)，圆心，∴－＝0，解得λ＝－2.故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24－2(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.三、解答题5．已知点P(0,5)及圆Cx2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．[分析] (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．[解析] (1)解法1：x2＋y2－4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝42，∴圆C的圆心为C(－2,6)，半径为4，如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.解法2：当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y-8-\n＝kx＋5，联立直线与圆的方程消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系得②由弦长公式得|x1－x2|＝＝4，将②式代入，解得k＝，此时直线方程为3x－4y＋20＝0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即·＝0，(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.6．(2022·徐州月考)已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．[解析] (1)证明：由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，半径为r1＝，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，∴|C1C2|2＋r＝r，∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，∴an＋1－an＝，∴数列{an}是等差数列．(2)∵a1＝－3，∴an＝n－，则r1＝＝＝.-8-\n∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.-8-
