【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第2节 简单几何体的表面积和体积（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第2节简单几何体的表面积和体积新人教B版一、选择题1．(2022·广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是(　　)[答案]　B[解析]　在原正方体中，此几何体的顶点A、B、B1、M、N在正视图中的投影依次为D、C、C1、Q、D1(其中Q为C1D1的中点)，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线为虚线．故选B.2.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是(　　)A．南　　B．北　　　C．西　　　D．下[答案]　A[解析]　将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．3．(文)(2022·惠安中学高考适应性训练)一个四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是腰长为1的等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，其中一条直角边长为2，则这个几何体的体积是(　　)-13-\nA.B．1　　C.D．2[答案]　A[解析]　由三视图知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形两底边长分别为1和2，高为，面积S＝×(1＋2)×＝，锥体高，∴体积V＝××＝，故选A.(理)(2022·重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．54B．60　　C．66D．72[答案]　B[解析]　如图所示该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝＋3×5＋＋＋＝60.-13-\n4．(文)(2022·贵州六校联盟)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是(　　)A.B．　　C．8－D．8－[答案]　A[解析]　由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1.∴几何体的体积为V＝23－×2×2×1＝8－＝.(理)(2022·安徽六校教研会联考)四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)A．9πB．3π　　C．2πD．12π[答案]　D[解析]　该几何体的直观图如图所示，-13-\n该几何体可看作由正方体截得的，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD的对角线AC的长为2，可得a＝2，在△PAC中，PC＝＝2，∴球的半径R＝，∴S表＝4πR2＝4π×()2＝12π.5．(文)(2022·河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上A、B、C三点的平面的距离等于球半径的一半，若AB＝BC＝CA＝3，则球的体积为(　　)A．8πB．C．12πD．[答案]　D[解析]　设球心为O，过O作OM⊥平面ABC，垂足是M,∵△ABC是边长为3的正三角形，∴AM＝，可得球半径是2，体积是π.(理)如图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为(　　)A．2　　B．4　　　　C．6　　D．8[答案]　B[解析]　补成长方体ABMC－DEFN并连接CF，易知三棱锥F－BCM与三棱锥C－FGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.[点评]　1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABC－DEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF∥平面CHG，且△BEF△CHG，∴几何体BEF－CHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，∴体积为4.-13-\n2．如图(2)，几何体ABC－DEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，∴VABC－DEFG＝×23＝4.6．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是(　　)[答案]　B[解析]　球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，故选B.二、填空题7．圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________．[答案]　π[解析]　如图，设PD＝x，则＝，∴x＝4，∴θ＝×2π＝π.8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．-13-\n[答案]　[解析]　根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是×π×12×3＝.故填.9．(文)(2022·天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案]　[解析]　由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V＝·π·22·2＋π·12·4＝＋4π＝.(理)(2022·山东泰安市期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．[答案]　πcm3[解析]　由图可知，该几何体是一个组合体，上部为半径为1的半球，下部为圆柱，圆柱的底半径为1、高为1，∴体积V＝×＋π×()2×1＝(cm3)．-13-\n三、解答题10．(文)(2022·江西赣州博雅文化学校月考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．[解析]　(1)∵BC＝CD＝2，∴△BCD为等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝，∴BD⊥AC.再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.而PA∩AC＝A，故BD⊥平面PAC.(2)∵侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，∴三棱锥F－BCD的高是三棱锥P－BCD的高的.△BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin＝.∴三棱锥P－BDF的体积V＝VP－BCD－VF－BCD＝·S△BCD·PA－·S△BCD·(PA)＝×·S△BCD·PA＝××2＝.(理)(2022·济南外国语学校质检)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析]　(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE，在平面ABCD内，因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD，(2)由(1)可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S-13-\n△ECD＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PA＝××1＝.一、选择题11．(文)(2022·湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.B．π　　C.D．2π[答案]　A[解析]　由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱＝π×12×2＝2π，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球＝2××π×13＝π.故所求几何体的体积为V＝V柱－V球＝2π－＝.(理)(2022·河南郑州质检)如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为(　　)A．15＋3B．9C．30＋6D．18[答案]　C[解析]　由三视图知几何体是一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，棱柱高为-13-\n，侧棱长为2，故S＝3×3×2＋3×2×2＋3××2＝30＋6.12．(文)(2022·东北三校一联)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)A.B．C.D．[答案]　D[解析]　该几何体是底面为扇形的一个锥体，由主视图可知AD＝1，而AO＝2，∴∠AOD＝，∴底面扇形的圆心角α＝π，∴＝，V＝Sh＝×(·π×22)×4＝π.(理)(2022·江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是(　　)　A.πB．6π　　C.πD．π[答案]　C[解析]　由三视图可知，该几何体上半部分是底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高为1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为V＝(π×22×1)＋(π×22×2)×＝π.13．(2022·山东青岛二模)已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)A.πB．6π　　C．5πD．8π-13-\n[答案]　B[解析]　∵由勾股定理易知DA⊥AB，AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB.∴CD＝＝.∴AC2＋AD2＝CD2，∴DA⊥AC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4π()2＝6π.二、填空题14．(2022·陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为________．[答案]　24－[解析]　由三视图可知，该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，圆柱体的高为3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为4×2×3－×π×12×3＝24－π.15．(文)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于________．[答案]　4π[解析]　可以将其补全为一个长方体，则长、宽、高分别为、1、1，所以，长方体体对角线长为＝2，故R＝1，因此球的表面积为4πR2＝4π.(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．[答案]　9π[解析]　设圆锥底面半径为r(r>0)，则母线长l＝，由πrl＝15π得r·＝15，解之得r＝3，∴l＝5.设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图，则BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R，∵OD⊥PB，∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝，-13-\n∴球的表面积S＝4πR2＝9π.三、解答题16．(文)(2022·南开区质检)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：平面A1B1B⊥平面ABC；(2)求多面体DBC－A1B1C1的体积．[解析]　∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，∴CD⊥面AA1B1B，又因为CD⊂平面ABC，故平面A1B1B⊥平面ABC.(2)V多面体DBC－A1B1C1＝V棱柱ABC－A1B1C1－V棱锥A1－ADC＝S△ABC·|AA1|－S△ADC·|AA1|＝S△ABC·|AA1|－×S△ABC·|AA1|＝S△ABC·|AA1|＝.(理)(2022·焦作市期中)如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC＝CD＝BC＝2，点F是线段AD的中点．(1)求证：AB∥平面CEF；(2)求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比．[解析]　(1)连接BD交CE于点O，连接FO.∵四边形BCDE为矩形，∴O为BD的中点，又F是线段AD的中点，∴FO∥AB，∵FO⊂平面CEF，AB⊄平面CEF.∴AB∥平面CEF.-13-\n(2)∵平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AC⊥平面BCDE.∴VA－BCDE＝·S矩形BCDE·AC＝×BC×CD×AC＝×4×2×2＝.矩形BCDE中，BC⊥CD，又AC⊥BC且AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，又矩形BCDE中，ED∥BC，∴ED⊥平面ACD.Rt△ACD中，F是线段AD的中点，∴S△CDF＝S△ACD＝··AC·CD＝1，∴VE－CDF＝·S△CDF·ED＝×1×4＝，∴平面CEF将几何体ABCDE分成的上下两部分的体积之比为＝＝.17．(文)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．[解析]　(1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.(2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形，∴D′E＝DE＝EF＝，∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，∵S梯形ABCP＝×(1＋2)×1＝，∴VD′－ABCP＝×D′E×S梯形ABCP＝.(理)如图在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.-13-\n(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.[解析]　(1)令PA＝x(0<x<2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x，因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD.所以VA′－PBCD＝Sh＝(2－x)·(2＋x)x＝(4x－x3)．令f(x)＝(4x－x3)，由f′(x)＝(4－3x2)＝0，得x＝.当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以，当x＝时，f(x)取得最大值，即当VA′－PBCD最大时，PA＝.(2)设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF綊BC，PD綊BC，∴EF綊PD，∴四边形EFPD为平行四边形，∴DE∥PF.又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.-13-