【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第2节简单几何体的面积与体积北师大版一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．πB．πC．π＋8D．12π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，分别计算其体积相加得π×22×2＋π＝π.2．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A．24B．80C．64D．240[答案] B[解析] 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V＝×8×6×5＝80，故选B．3．(文)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )-9-\nA．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3[答案] B[解析] 本题考查三视图与几何体的体积计算．考查空间想象能力与计算能力．该几何体的直观图为左边是一个横放的棱柱，右边是一个长方体．V＝×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90(cm3)对三视图的想象还原关键是“长对正、高平齐、宽相等”．(理)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2[答案] D[解析] 本题考查三视图及几何体表面积公式，由三视图还原后表面积S＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2××3×4＝138，选D．注意利用三视图还原后几何体的形状是关键．表面是全面积而不是侧面积．4．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )A．11B．12C．21D．32[答案] C[解析] 考查三棱锥体积的求法及等积法的运用．-9-\nVD－GAC＝VG－ACD，∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VB－GAC＝VG－ABC，又S△ABCS△ACD＝12.∴VD－GACVP－GAC＝VG－ACDVG－ABC＝S△ACDS△ABC＝21.5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A．4，8 B．4，C．4(＋1)，D．8,8[答案] B[解析] 由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝＝，侧面积S＝4××2×＝4，体积V＝×2×2×2＝.6．(2022·济南模拟)如图所示，在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是( )A．12πB．32πC．36πD．48π[答案] C[解析] 在正三棱锥S－ABC中，易证SB⊥AC，又MN綊BS，∴MN⊥AC，∵MN⊥AM，∴MN⊥平面ACM，∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°，-9-\n即侧面为直角三角形，底面边长为2.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－R)2＋(2××)2＝R2，∴R＝3.∴外接球的表面积是36π.故选C．二、填空题7．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．[答案] [解析] 依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.8．(文)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.[答案] 6[解析] 本题考查长方体及四棱锥体积等知识，考查空间想象能力．连接AC交BD于O点，∵AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴AO⊥BD．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥面ABCD，又AO面ABCD，∴B1B⊥AO.又B1B∩BD＝B，∴AO⊥面B1BDD1，即AO长为四棱锥A－B1BDD1的高，∴AO＝＝，S矩B1BDD1＝BB1×BD＝3×2＝6.∴VA－BB1D1D＝S矩BB1D1D×AD＝×6×＝6.(理)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．-9-\n[答案] 92[解析] 本题考查了三视图及直四棱柱的表面积．该几何体的底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S＝2××(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋)×4＝92.9．(文)(2022·山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．[答案] 12 [解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算．如图所示．由体积V＝×6××4·h＝2求得高h＝1.取AB中点G，连结OG、PG.∵OA＝OB，∴AB⊥GO.又PO⊥AB，PO∩GO＝O，∴AB⊥平面PGO，∴AB⊥PG.又PO＝1，GO＝×2＝，∴PG＝2.∴S侧＝6××AB·PG＝3×2×2＝12.(理)(2022·山东高考)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.[答案] [解析] 本题考查棱锥的体积计算．如图所示-9-\nVP－ABC＝VC－PAB设三棱锥C－PAB的高为h1VD－ABE＝VE－ABD，设三棱锥E－ABD的高为h2∴＝＝，又S△PAB＝2S△ABD∴＝＝.三、解答题10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1－ABA1的体积．[解析] (1)如图，连接AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.一、选择题-9-\n1．(2022·大连模拟)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A－BCD的外接球的体积为( )A．πB．πC．πD．π[答案] C[解析] 外接球直径为AC，∴半径为.∴V＝π()3＝π.2．已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x＋y＝4，则三棱锥体积的最大值是( )A．B．C．1D．[答案] B[解析] 由条件可知V三棱锥O—ABC＝OA·OB·OC＝xy≤()2＝，当x＝y＝2时，取得最大值.二、填空题3．(2022·金华模拟)四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P－ABCD的体积为________．[答案] a3[解析] 易知该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面是边长为a的正方形，故体积V＝a2×a＝a3.4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.-9-\n[答案] 24[解析] 本题考查了三视图及几何体的体积问题．由几何体的三视图可知该几何体的图形为三棱柱去掉一个三棱锥，故V＝V三棱柱－V三棱锥＝×4×3×5－××3×4×3＝24.三、解答题5．在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？[解析] 根据题意作如图所示的截面．设圆柱的高为h，底面半径为r(0<r<R)，体积为V，则＝，∴h＝2(R－r)，∴V＝πr2h＝2πr2(R－r)＝2πRr2－2πr3.∴V′＝4πRr－6πr2，由V′＝0得r＝R，当r＝R时，圆柱的体积V取得最大值，此时圆柱的高h＝2(R－R)＝R.6．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主(正)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的左(侧)视图；-9-\n(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.[解析] (1)该安全标识墩左(侧)视图如图所示．(2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×40×40×60＋40×40×20＝64000(cm3)．(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH.设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH.而FH平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO平面PEG，EG平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.-9-
