【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第6节抛物线新人教B版一、选择题1．(2022·石家庄五校联考)若抛物线y＝ax2的准线的方程是y＝2，则实数a的值是( )A. B．－C．8D．－8[答案] B[解析] 由条件知，－＝2，∴a＝－.2．(2022·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是( )A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线[答案] A[解析] P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．3．(文)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )A．48B．56C．64D．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.(理)(2022·郑州质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为( )A．4 B．8 C．12 D．16[答案] D[解析] 抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2022·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )A．2B．2C．2D．4[答案] C[解析] 设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3-12-\n，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.5．(文)(2022·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )A．2B．C.D．[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中点C的横坐标是.(理)(2022·武昌模拟)直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为( )A．6B．10C．2D．16[答案] B[解析] 将y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝6，∴k＝±2，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝10.6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2B．3C.D．[答案] A[解析] 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A.[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型．(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①(2022·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案] －1[解析] 如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.-12-\n所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．②(2022·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．[答案] (－1，)[解析] 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．③已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[分析] 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析] 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，∵>2，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，即点P的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．④已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A.B．C．2D．－1[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝-12-\n，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑤(2022·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.B．3C.D．2[答案] C[解析] 如图，|MQ′|－|Q′F|＝|MQ′|－|Q′A′|＝|MA′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.(其中l是抛物线的准线，QA⊥l，垂足为A，Q′M⊥l垂足为A′，MN⊥QN)，∵抛物线的准线方程为x＝－，∴|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－|xQ＋|＝3－＝，选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑥(2022·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案] －1[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.(6)与平面向量交汇命题．⑦已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．(7)利用三角形两边之和大于第三边．⑧(2022·郑州第一次质量检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )-12-\nA. B. C．1 D．2[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，当直线AB过点F时，等号成立，所以|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值．二、填空题7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得，＝＝2，∵y1＋y2＝2，∴p＝2.8．(2022·福州期末)若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝8.设P(－，y0)，则点P到直线AB的距离为，∴△PAB的面积S＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.9．(2022·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则△AMN的面积是________．[答案] 4[解析] 焦点F(2,0)，直线l：x＝y＋2，代入抛物线y2＝8x，消去x，得y2－8y－16＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝＝8.故△AMN的面积S＝×1×|y1－y2|＝4.三、解答题10．(2022·豫南九校联考)已知动圆M过定点F(1,0)且与直线x＝－1相切，圆心M的轨迹为H.(1)求曲线H的方程；(2)一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x＝－1上的动点，是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．[解析] (1)设M(x，y)，由题意知M到定点F的距离等于到定直线x＝－1的距离，-12-\n所以M的轨迹是以F为焦点的抛物线，＝1，∴p＝2，∴曲线H的方程为y2＝4x.(2)设直线AB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－1，n)，由消去x得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝1.则M的坐标为(，)，即M(2m2＋1,2m)．由kCM·kAB＝·＝－1得n＝2m3＋4m，则C(－1，2m3＋4m)．∵|CM|＝＝2(m2＋1)，|AB|＝|y1－y2|＝4(1＋m2)，∵|CM|＝|AB|，∴m＝±.∴存在这样的点C(－1，±8)，使△ABC为正三角形.一、选择题11．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )A．1 B．3 C．－4 D．－8[答案] C[解析] 由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴42＝2y1，(－2)2＝2y2，∴y1＝8，y2＝2.-12-\n∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线方程可化为y＝x2，∴y′＝x.∴过点P的切线斜率为k1＝4，切线方程为y＝4x－8，又∵过点Q的切线斜率为k2＝－2，∴过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立解得x＝1，y＝－4.∴点A的纵坐标为－4.12．(文)如图，抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x－1)2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为( ) A.B．1C．2D．4[答案] B[解析] 法一：抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)．可用特殊法：当l与x轴垂直时，|AD|＝4，|BC|＝2，|AB|＝|CD|＝1，∴·＝||||＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，||＝||－1＝xA，||＝||－1＝xD，||||＝xA·xD＝＝1.-12-\n∴·＝||||＝1.故选B.(理)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为( )A．16B．C．4D．[答案] B[解析] 由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4，∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，∴＝＝.故选B.13．(文)(2022·山东淄博一模)过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.B．C.D．2[答案] C[解析] 设A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,2)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，解得B(，－)．∴S△AOB＝×1×|2－(－)|＝.(理)(2022·课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B．C.D．[答案] D[解析] 由已知得F(，0)，故直线AB的方程为y＝tan30°·(x－)，即y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将①代入②并整理得x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝，-12-\n∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝＝.∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.14．(2022·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )A.B．C．3D．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，∴＝，由于△QAP∽△FGP，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.二、填空题15．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x＝－1[解析] 由消去x得，y2－2py－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，由条件知，y1＋y2＝4，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1.16．(2022·湖南理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C、F两点，则＝________. [答案] ＋1-12-\n[解析] 由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，∵C、F在抛物线y2＝2px上，∴∴b2－2ab－a2＝0，∴＝＋1，故填＋1.三、解答题17．(文)(2022·北京西城区期末)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．[解析] (1)抛物线y＝x2的焦点为(0，)．由题意，得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)．因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1－k>，解得k<.(2)由题意，设B(x1，x)，C(x2，x)，D(x3，y3)，联立方程消去y，得x2－kx＋k－1＝0，由根与系数的关系，得1＋x1＝k，所以x1＝k－1.同理，得AC的方程为y－1＝－(x－1)，x2＝－－1.对函数y＝x2求导，得y′＝2x，所以抛物线y＝x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.同理，抛物线y＝x2在点C处的切线CD的方程为y＝2x2x－x.联立两条切线的方程，解得x3＝＝(k－－2)，y3＝x1x2＝－k，所以点D的坐标为((k－－2)，－k)．因此点D在定直线2x＋y＋2＝0上．因为点O到直线2x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以|OD|≥，当且仅当点D(－，－)时等号成立．由y3＝－k＝－，得k＝，验证知符合题意．所以当k＝时，|OD|有最小值.-12-\n(理)(2022·开封摸底考试)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．[解析] (1)依题意，由圆过定点F可知C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的方程为y＝x2，求导得y′＝x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程，消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.18．(文)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，-12-\nk1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.所以AQ⊥BQ.(理)(2022·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，－)，点F为抛物线C：y＝mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，－)在抛物线C上，∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得x2－4kx＋8k＋2＝0，Δ＝16k2－4(8k＋2)>0，∴k<或k>.假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝＋＝＝＝＝＝，k2＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，即x＋2y－1＝0.∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.-12-
