【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第6节抛物线北师大版一、选择题1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] D[解析] 把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义．2．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的焦点，则a＝( )A．1B．4C．8D．16[答案] C[解析] 根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有＝2，解得a＝8.3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝±12y[答案] D[解析] 由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.4．(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18B．24C．36D．48[答案] C[解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O-8-\n为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x[答案] B[解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．由已知得抛物线焦点为F，∴AF所在直线方程为y＝2.∴A，∴S△OAF＝×·＝＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.5．(2022·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－B．－1C．－D．－[答案] C[解析] 考查了直线与抛物线的有关知识．把A(－2,3)代入y2＝2px的准线方程，得p＝4.∴F为(2,0)∴kAF＝＝－.正确求出焦点F是关键．6．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p2[答案] A[解析] ∵OA⊥OB，∴·＝0.①∴x1x2＋y1y2＝0.∵A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.二、填空题-8-\n7．(文)(2022·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．[答案] 2 x＝－1[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，－2)到点F的距离为4，则k的值为________．[答案] 4或－4[解析] 由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.[答案] 2[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．如图建立直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2m.9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________[答案] y2＝4x[解析] 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.三、解答题10．(2022·江西高考)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．-8-\n(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．[解析] (1)∵直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率一定存在．∴可设直线AB的方程为y＝kx＋2，由，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－8.又直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为⇒又∵x1x2＝－8，x＝4y1.∴y＝＝＝＝－2.∴点D在定直线y＝－2(x≠0)上(2)由题意分析可知，切线l的斜率存在且不为0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4y并化简得x2－4ax－4b＝0.∵l为切线，∴△＝(4a)2＋16b＝0，化简得b＝－a2.∴切线方程为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1、N2点的坐标为N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8∴|MN2|2－|MN1|2为定值8.一、选择题1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )-8-\nA．4B．8C．8D．16[答案] B[解析] 如图，kAF＝－，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B．2．(文)已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )A．相交 B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝＝＝＝，∴这个圆与y轴相切．(理)(2022·台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] A[解析] 因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．二、填空题3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF＝MN，则∠NMF＝________.[答案] [解析] 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，-8-\n∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝.4．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．[答案] (1,1)[解析] 解法1：设P点坐标为(x0，x)，由点到直线的距离公式得d＝＝|x－2x0＋4|＝|(x0－1)2＋3|≥.由上式可知当x0＝1时，dmin＝.∴点P的坐标为(1,1)．解法2：如图，平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．设P(x0，y0)，∵y′＝2x.∴过P点的切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.∴x0＝1，y0＝x＝1，故P点坐标为(1,1)．三、解答题5．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．[解析] 由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB为直径的圆过点O，-8-\n∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴＋(－5p)＝0，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝x.6．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．[分析] (1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率．[解析] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB．由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1①y＝4x2②-8-\n∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得直线AB的斜率kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．[点评] (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1＋y2可得如下等式：由y＝2px1①y＝2px2②②－①得y－y＝2p(x2－x1)，∴＝(x1≠x2)，∴kAB＝.-8-
