【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第2节平面向量基本定理及向量的坐标运算北师大版一、选择题1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b[答案] B[解析] 设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，即解得∴c＝3a－B．2．(文)已知a＝(4,5)，b＝(8，y)，且a∥b，则y等于( )A．5B．10C．D．15[答案] B[解析] ∵a∥b，∴4y－40＝0，得y＝10.(理)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2[答案] D[解析] 考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件．a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，由题意可得3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.3．(文)(2022·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)[答案] A[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算．∵a＝(2,4)，b＝(－1,1)，∴2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．(理)(2022·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)-8-\nC．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[答案] B[解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出A．B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出A．4．(2022·德州模拟)设＝x＋y，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x＋y＝( )A．－1B．1C．0D．2[答案] B[解析] 如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ＝(1－λ)＋λ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.5．(文)已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析] ∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，∴＝－，∴∥.-8-\n又由坐标知点O，C，A，B不共线，∴OC∥BA，①正确；∵＋＝，∴②错误；∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．故选C．(理)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )A．＝＋B．＝－C．＝＋D．＝＋[答案] D[解析] 由向量加法的三角形法则知：＝－正确，排除B；由向量加法的平行四边形法则知：＝＋，＝＝＋，排除A，C，故选D．6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μC．④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μC．上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e与b是不共线单位向量，则存在实数λ，y使a＝λb＋ye，若y>0，则取μ＝-8-\ny，c＝e，若y<0，则取μ＝－y，c＝－e，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b与c垂直，此时必须a的模为才成立．二、填空题7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．[答案] [解析] ∵a∥b，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，∴x＝.8．(2022·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.[答案] [解析] 本题考查向量共线，倍角公式．∵a∥b，∴sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ，即＝tanθ＝.9．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝________.[答案] －b＋c[解析] 设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴解得∴a＝－b＋C．三、解答题10．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．[解析] (1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.-8-\n(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)，∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，又∵AB、AM有公共点A，∴A、B、M三点共线.一、选择题1．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、C．设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )A． B．C． D．[答案] B[解析] ∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝，故选B．2．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．垂心C．内心D．重心[答案] D[解析] ∵＝＋λ(＋)，∴－＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，∴＝λ(＋)，∴P在BC边的中线上．故P的轨迹通过△ABC的重心，故选D．二、填空题3．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．[答案] －-8-\n[解析] 解法1：设BC方程为＋＝1，∵A、B、C共线，∴＋＝1，∴＋＝－.解法2：∵A、B、C共线，∴∥，∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.[答案] {(－2，－2)}[解析] 由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，由，解得，∴M∩N＝{(－2，－2)}．三、解答题5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，试求t的值．[解析] ∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示，-8-\n∵A，M，Q三点共线，∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋(－1).又＝－＝－，由已知＝t可得，＋(－1)＝t(－)，∴，解得t＝.6．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．[解析] 解法1：设P(x，y)，则＝(x，y)，∵，共线，＝(4,4)，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量，共线，∴－6(x－2)－2(6－y)＝0.②解由①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．解法2：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，-8-\n解得t＝，∴＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P点坐标为(3,3)．-8-
