【高考领航】2022高考数学总复习4-2平面向量的基本定理及向量坐标运算练习苏教版【A组】一、填空题1．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是________．解析：设C(x，y)，则BC中点D，∴＝(0，－4)，＝，由＝2，得x＝－4，y＝－2，故C坐标为(－4，－2)．答案：(－4，－2)2．与向量a＝(12,5)平行的单位向量为________．解析：设e为所求的单位向量，则e＝±＝±.答案：或3．(2022·高考山东卷)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的序号是________．①C可能是线段AB的中点②D可能是线段AB的中点③C，D可能同时在线段AB上④C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：依题意，若C，D调和分割点A，B，则有＝λ，＝μ，且＋＝2.若C是线段AB的中点，则有＝，此时λ＝.又＋＝2，所以8\n＝0，不可能成立．因此①不对，同理②不对．当C，D同时在线段AB上时，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时＋＞2，与已知条件＋＝2矛盾，因此③不对．若C，D同时在线段AB的延长线上，则＝λ时，λ＞1，＝μ时，μ＞1，此时＋＜2，与已知＋＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．答案：④4．在四边形ABCD所在的平面内，a＝(－3,2)，b＝(2,3)．若＝2a＋b，＝2a－4b，＝－3a＋b，则四边形ABCD必是________．(用“平行四边形、矩形、直角梯形”等填空)解析：＝＋＋＝a－2b，∵＝2，∴BC∥AD且||＝2||，＝2a＋b＝(－4,7)，＝2a－4b＝(－14，－8)，∴·＝0，∴AB⊥BC，故四边形ABCD为直角梯形．答案：直角梯形5．(2022·高考广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.解析：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝.答案：6．(2022·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝________.解析：建立如图所示直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，由＝λ，＝(1－λ)可得P(λ，0)，Q(0,2－2λ)，则＝(－1,2－2λ)，＝(λ，－2)，8\n所以·＝－λ＋4λ－4＝3λ－4＝－2，即λ＝.答案：7．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B，设C(cosα，sinα)，则有x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，所以当α＝时，x＋y取得最大值为2.答案：2二、解答题8．如图，O，A，B三点不共线，＝2，＝3，AD与BC交于点E，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示向量；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得，＝ya＋3(1－y)b，②比较①②，得解得x＝，y＝，∴＝a＋b.8\n(2)∵＝，＝＝，＝(＋)＝，＝－＝，＝－＝，∴＝6，∴与共线，又∵有公共点M，∴L，M，N三点共线．9．三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n.(1)求cosA的值；(2)求sin(A＋30°)的值．解：(1)因为m∥n，所以(3c－b)c－(a－b)·(3a＋3b)＝0，即a2＝b2＋c2－bc，又∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝.(2)由cosA＝得sinA＝，sin(A＋30°)＝sinAcos30°＋cosAsin30°＝×＋×＝.【B组】一、填空题1．(2022·江苏六校联考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．解析：p∥q⇔12＋3x＝0，解得x＝－4.∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.答案：2．(2022·湖北八校第二次联考)已知：如图，||＝||＝1，与8\n的夹角为120°，与的夹角为30°，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，则等于________．解析：过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又∵＝λ，＝μ，∴λ||＝2μ||，∴λ＝2μ，∴＝2.答案：23．(2022·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量OQ，则点Q的坐标是________．解析：由题意，得||＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝，sinθ＝.则Q点的坐标应为.由三角知识得10cos＝－7，10·sin＝－.∴Q(－7，－)．答案：(－7，－)4．(2022·高考重庆卷)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.解析：由⇒⇒∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝.答案：5．(2022·江苏南通二模)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.解析：由a∥b得1×m＝2×(－2)，得m＝－4.∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：(－4，－8)6．(2022·常州模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则8\n＝________.解析：＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)7．(2022·高考广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝________.解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.答案：二、解答题8．(2022·镇江模拟)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴A、B、M三点共线．(3)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．又＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)．又||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离8\nd＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.9．(2022·江苏徐州高三质检)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求|a＋c|的最大值；(2)若α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解：(1)解法一：a＋c＝(cosα－1，sinα)，则|a＋c|2＝(cosα－1)2＋sin2α＝2(1－cosα)．∵－1≤cosα≤1，∴0≤|a＋c|2≤4，即0≤|a＋c|≤2.当cosα＝－1时，有|a＋c|＝2，∴|a＋c|的最大值为2.解法二：∵|a|＝1，|c|＝1，|a＋c|≤|a|＋|c|＝2，当cosα＝－1时，有|a＋c|＝2，∴|a＋c|的最大值为2.(2)解法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝，得cos＝cos，即β－＝2kπ±(k∈Z)．∴β＝2kπ＋或β＝2kπ(k∈Z)，于是cosβ＝－或cosβ＝1.解法二：若α＝，则a＝.又b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)，∴a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，8\n即cos＝，∴β－＝2kπ±(k∈Z)，∴β＝2kπ＋或β＝2kπ(k∈Z)，于是cosβ＝－或cosβ＝1.8
