【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第1节平面向量的概念与线性运算新人教B版一、选择题1．(文)如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为( )A．－3 B．2C．－D．[答案] A[解析] ∵a与b共线且方向相反，∴存在λ<0，使a＝λb，∴，解之得k＝－3.(理)(2022·北京东城模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[答案] D[解析] ∵c∥d，∴存在λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴解得此时c＝－d.∴c与d反向．2．(文)(2022·南通中学月考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )A.＋＝0B．＋＝0C.＋＝0D．＋＋＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.(理)设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形[答案] D[解析] 解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．-9-\n解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．3.(2022·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2022外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2022中任意相邻两点的距离相等，＝a，OA2022＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2022，其结果为( )A．1006(a＋b)B．1007(a＋b)C．2022(a＋b)D．2022(a＋b)[答案] B[解析] 设A0A2022的中点为A，则A也是A1A2022，…，A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得＋OA2022＝2＝a＋b，同理可得＋OA2022＝＋OA2022＝…＝OA1006＋OA1007＝a＋b，故＋＋＋＋…＋OA2022＝1007×2＝1007(a＋b)，选B.4．如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于( )A.a＋bB．－a＋bC.a＋bD．－a＋b[答案] B[解析] ∵＝3，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝－＝－＝－(＋)＝－＝－＝－＝b－a.5．(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是( )-9-\nA．[0,1]B．[0，]C．[0，]D．[，2][答案] C[解析] 由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.6．(2022·湖北黄冈中学月考)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1[答案] C[解析] ∵A、B、D三点共线，∴与共线，∵i与j不共线，∴1×1－mn＝0，∴mn＝1.二、填空题7．(2022·成都七中期中)已知|a|＝6，|b|＝6，若ta＋b与ta－b的夹角为钝角，则t的取值范围为________．[答案] (－，0)∪(0，)[解析] 由条件知(ta＋b)·(ta－b)＝t2|a|2－|b|2＝36t2－72<0，∴t2<2，∴－<t<，当t＝0时，两向量夹角为π，∴t的取值范围是(－，0)∪(0，)．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.[答案] [解析] ∵＝＋，＋＝1，∴A、B、C三点共线，-9-\n∵＝－＝－＝，∴＝.9．(文)(2022·保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．[答案] [解析] 由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.(理)(2022·北京房山期末统考)如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.[答案] [解析] 以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．所以C(1,0)，A(0,1)，B(cos30°，－sin30°)，即B(，－)．则有＝(1,0)，＝(0,1)，＝(，－)．∴＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(，－)＝(μ，λ－μ)＝(1,0)，∴⇒∴λ＋μ＝.三、解答题10．(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示、.[解析] 解法一：＝－＝c－，①＝－＝d－，②由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．解法二：设＝a，＝b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以＝b，＝a，于是有：解得-9-\n即＝(2d－c)，＝(2c－d)．(理)如图，在△ABC中，AMAB＝13，ANAC＝14，BN与CM交于P点，且＝a，＝b，用a，b表示.[分析] 由已知条件可求、，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设＝λ，＝μ，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设＝λ，用a、b，λ来表示与，利用与共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析] 由题意知：＝＝a，＝＝b，＝－＝b－a，＝－＝a－b.设＝λ，＝μ，则＝b－λa，＝a－μb.∴＝－＝b－(b－λa)＝λa＋b，＝－＝a－(a－μb)＝a＋μb，∴λa＋b＝a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝且＝μ.∴λ＝.因此＝a＋b.一、选择题11．在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，，满足＝a1＋a2022，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2022等于( )A．1007B．1008C．2022D．2022[答案] A[解析] 由题意知，a1＋a2022＝1，又数列{an}为等差数列，所以S2022＝×2022＝1007，故选A.-9-\n12．(2022·绥化模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点，且＝＋t，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是( )A．0<t<B．0<t<C．0<t<D．0<t<[答案] D[解析] 如图，设＝，过D作DE∥AC，交BC于E，过E作EF∥AB交AC于F，由平行四边形法则知＝＋＝＋，当0<t<时，＝t，＝＋t，此时点P落在△ABC内部，否则点P落在△ABC的边上或外部，∴选D.13．在△ABC中，点P是AB上的一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为( )A.B．C.D．[答案] C[解析] ∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝，因此P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)(0<x<1)，∵＝－，∴＝＋(－1).-9-\n∵＝－＝－＋，且＝t(0<t<1)，∴＋(－1)＝t(－＋)，∴＝且－1＝－t，解得t＝，故选C.14．(2022·河南省实验中学期中)e1、e2是平面内不共线的两向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )A．1B．2C．－1D．－2[答案] B[解析] ＝－＝e1－2e2，∵A、B、D共线，∴与共线，∴1×(－2)－(－k)×1＝0，∴k＝2.二、填空题15．(2022·江苏苏州一模)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．[答案] 2[解析] 连接AO，则＝(＋)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.16．(2022·吉林长春一模)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．[答案] 3[解析] 设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2-9-\n＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝··S△ABC＝S△ABC，所以＝3.三、解答题17．(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．(1)求实数x，使两向量、共线．(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？[解析] (1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2－4＝0，即x＝±2.(2)当x＝±2时，∥.当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥.此时A、B、C三点共线，从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．(理)已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析] 依题意，由＝＋λa＋λb，得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则＝λ，∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△-9-\nABC的重心)．18．(文)(2022·郑州市质检)已知向量m＝(cosA，－sinA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝cos2C，A，B，C为△ABC的内角．(1)求角C的大小；(2)若AB＝6，且·＝18，求AC，BC的长．[解析] (1)m·n＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝－cosC＝cos2C，即2cos2C＋cosC－1＝0，故cosC＝或cosC＝－1，又0<C<π，所以C＝.(2)因为·＝18，所以CA·CB＝36， ①由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，及AB＝6得，AC＋BC＝12， ②由①、②解得AC＝6，BC＝6.(理)(2022·山西大学附中月考)设向量a＝(1，cos2θ)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝(sinθ，1)，其中θ∈(0，)．(1)求a·b－c·d的取值范围；(2)若函数f(x)＝|x－1|，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．[解析] (1)∵a·b＝2＋cos2θ，c·d＝2sin2θ＋1＝2－cos2θ∴a·b－c·d＝2cos2θ，∵0<θ<，∴0<2θ<，∴0<2cos2θ<2，∴a·b－c·d的取值范围是(0,2)．(2)∵f(a·b)＝|2＋cos2θ－1|＝|1＋cos2θ|＝2cos2θ，f(c·d)＝|2－cos2θ－1|＝|1－cos2θ|＝2sin2θ，∴f(a·b)－f(c·d)＝2(cos2θ－sin2θ)＝2cos2θ，∵0<θ<，∴0<2θ<，∴2cos2θ>0，∴f(a·b)>f(c·d)．-9-
