【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第2节复数的概念与运算新人教B版一、选择题1．(文)(2022·唐山市二模)已知a∈R，若为实数，则a＝( )A．2 B．－2 C．－D．[答案] D[解析] ＝＝，由已知得1＋2a＝0，∴a＝－.(理)(2022·郑州模拟)设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为( )A．2 B．－2 C．－ D.[答案] A[解析] ∵a∈R，＝＝∈R，∴a＝2.2．(2022·唐山市一模)设(2＋i)＝3＋4i，则z＝( )A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i[答案] D[解析] ∵＝＝＝＝2＋i，∴z＝2－i.3．(文)(2022·东北三省三校二模)已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )A．－－iB．－＋iC.＋iD．－i[答案] D[解析] ∵z＝－＋i，∴＝－－i，|z|＝1，∴＋|z|＝－i.(理)(2022·郑州质检)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为( )-6-\nA. B．i C．1 D．i[答案] A[解析] ∵(2－i)z＝|1＋2i|＝，∴z＝＝＝＋i，∴复数z的虚部为.4．(2022·长沙模拟)已知集合M＝{i，i2，，}，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是( )A．3个B．2个 C．1个D．0个[答案] B[解析] 由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．5．(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知i为虚数单位，复数z满足zi＝()2，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案] C[解析] zi＝()2＝＝，∴z＝＝＝－4＋3i，∴＝－4－3i，故选C.6．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )A.B． C.D．[答案] D[解析] ∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴.∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)，∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．二、填空题7．(文)在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第______象限．[答案] 三[解析] ∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，∴z的对应点在第三象限．(理)一个正四面体玩具，它的四个面上标有数字－1,0,1,2，连续抛掷两次，记第一次向下的面上数字为a，第二次向下的面上数字为b，设复数z＝a＋bi，则z的对应点在第二象限的概率为________．[答案] [解析] 若z＝a＋bi的对应点在第二象限，则a<0，b>0，这样的点有2个，即(－1,1)，(－1,2)，∴-6-\n所求概率为P＝＝.8．(2022·黑龙江佳木斯第一中学调研)已知i为虚数单位，若＝2＋i(a，b∈R)，则ab＝________.[答案] 3[解析] a＋bi＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，∵a、b∈R，∴a＝1，b＝3，∴ab＝3.9．(2022·江苏东海二中调研)已知z是纯虚数，是实数(i是虚数单位)，那么z＝________.[答案] －2i[解析] 令z＝bi(b∈R且b≠0)，＝＝＝是实数，所以b＝－2，z＝－2i.三、解答题10．(2022·青岛调研)已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)纯虚数．[解析] (1)当z为实数时，则有∴∴a＝6，即a＝6时，z为实数．(2)当z为纯虚数时，则有∴∴不存在实数a使z为纯虚数.一、选择题11．(2022·山西大学附中月考)设复数ω1＝－＋i，ω2＝cos＋isin，若z＝ω1·ω2，则复数z的虚部为( )A．－B．C．－D．[答案] D[解析] 解法1：cos＝，sin＝，∴ω1·ω2＝(－＋i)·(＋i)＝－－i＋i－＝－＋i，∴复数ω1·ω2的虚部为.解法2：若z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则z1z2＝cosαcosβ－sinαsinβ＋i(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)．∵ω1＝－＋i＝cos＋isin，ω2＝cos＋isin，-6-\n∴z＝ω1ω2＝cos(＋)＋isin(＋)＝cos＋isin＝－＋i，∴z的虚部为.12．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，复数z＝z1·2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析] ∵z＝(cosα＋isinα)·(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的对应点在第二象限，∴，∴角α＋β的终边在第三象限．13．(2022·豫东、豫北十所名校阶段测试)设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且(－1)(1＋i)＝2i，则复数z的模为( )A．5B． C．2－iD．1[答案] B[解析] －1＝＝＝i＋1，∴＝2＋i，∴z＝2－i，∴|z|＝.14．(2022·北京大兴期末)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )[答案] A[解析] 由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A正确．二、填空题15．(2022·武汉调研)若复数z＝(m2－7m＋15)＋(m2－5m＋3)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于直线y＝－x上，则m＝________.[答案] 3[解析] 复数z在复平面内对应的点是(m2－7m＋15，m2－5m＋3)，则m2－5m＋3＝－(m2－7m＋15)，解得m＝3.16．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为区间(－，2)，则复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．-6-\n[答案] 三[解析] ∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－，2)，∴∵m<0，∴p>0，n<0.故复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第三象限．三、解答题17．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.(1)求z的实部的取值范围；(2)设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．[解析] (1)设z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，ω＝a＋bi＋＝＋i，∵ω是实数，∴b－＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.∵－1<ω<2，∴－<a<1，即z的实部的取值范围是.(2)u＝＝＝＝－i，∵－<a<1，b≠0，∴u是纯虚数．18．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.即事件“z－3i为实数”的概率为.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．-6-\n不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.-6-
