【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第6节正弦定理和余弦定理北师大版一、选择题1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)A．4　　　　　　　　B．2C．　D．[答案]　B[解析]　本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：＝，即AC＝2.2．(2022·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)A．充分必要条件　B．充分非必要条件C．必要非充分条件　D．非充分非必要条件[答案]　A[解析]　本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a≤b得A≤B．当B为锐角时，sinA≤sinB；当B为直角时，sinA≤sinB；当B为钝角时，π－B＝A＋C>A，此时π－B为锐角，所以sin(π－B)>sinA，即sinB>sinA，综上：sinA≤sinB．反之亦成立，选A．3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)A．2　B．2C．　D．1[答案]　B[解析]　本题考查正弦定理、二倍角公式等．由正弦定理得＝＝＝，即2sinAcosA＝sinA，又sinA>0，∴cosA＝，A＝，B＝，C＝，∴c＝2.4．(文)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)A．(0，]　B．[，π)-10-\nC．(0，]　D．[，π)[答案]　C[解析]　本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝≥＝，∴0<A≤，故选C．(理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　)A．　B．C．　D．－[答案]　C[解析]　本题考查了余弦定理、基本不等式等知识．由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC，∵a2＋b2＝2c2，∴c2＝2abcosC，又由2c2＝a2＋b2≥2ab得c2≥ab，∴cosC＝≥，故选C．5．(2022·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)A．5　B．C．2　D．1[答案]　B[解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式．∵S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B＝，根据余弦定理，-10-\nb2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故选B．6．△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则三角形的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[答案]　C[解析]　由正弦定理得sin2AtanB＝sin2BtanA，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．又因为A，B∈(0，π)，所以A＝B或A＋B＝90°.二、填空题7．(文)(2022·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.[答案]　或[解析]　本题考查正弦定理．由正弦定理得＝，所以sinB＝.又因为b>a，所以B＝或.(理)(2022·天津高考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]　－[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝a，∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.8．(文)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．[答案]　-10-\n[解析]　本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得＝，即＝，∴sinB＝，又∵a>b，∴A>B，∴B＝.又A＋B＋C＝π，∴C＝.(理)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为________．[答案]　钝角三角形[解析]　∵△ABC中，<cosA，∴c<bcosA，由正弦定理得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，∴sinAcosB<0.又sinA>0，∴cosB<0.故B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，则AB＝________.[答案]　[解析]　设AB＝c，∵∴cosC＝－.又∵cosC＝＝＝＝－，∴c2＝10，∴c＝，即AB＝.三、解答题10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C和C．[分析]　已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A．[解析]　解法1：∵B＝45°<90°，且b<a，∴问题有两解．-10-\n由正弦定理，得sinA＝＝＝，∴A＝60°或A＝120°.(1)当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝＝＝.(2)当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝＝＝.故A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.解法2：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即()2＝()2＋c2－2ccos45°，整理得c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.又cosA＝，①当a＝，b＝，c＝时，由①可得cosA＝－，故A＝120°；当a＝，b＝，c＝时，由①可得cosA＝，故A＝60°.故A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.一、选择题1．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC的面积为(　　)-10-\nA．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　因为a、b、c成等比数列，所以b2＝aC．又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，tanB＝，故得sinB＝，cosB＝，ac＝2.所以S△ABC＝acsinB＝×2×＝.(理)设△ABC的内角A，B，C，所对边的长分别为a，b，c若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝(　　)A．　B．C．　D．[答案]　B[解析]　本题考查了三角形的余弦定理、正弦定理．由3sinA＝5sinB得3a＝5b，又已知b＋c＝2A．∴a＝b，c＝b，cosC＝＝＝－.又∵0<c<π，∴C＝π.2．(文)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)A．(1，)　B．(，)C．(，2)　D．(1,2)[答案]　C[解析]　由正弦定理得：＝，∴a＝2sinA．∵C＝60°，∴0°<A<120°.又∵△ABC有两个，-10-\n∴asin60°<<a，即<a<2.(理)锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则的取值范围是(　　)A．(－2,2)　B．(0,2)C．(，2)　D．(，)[答案]　D[解析]　∵＝＝＝2cosA，又△ABC是锐角三角形，∴∴30°<A<45°，则＝2cosA∈(，)，故选D．二、填空题3．(2022·北京高考)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________.[答案]　2　[解析]　本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理．c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2，∵cosC＝，∴sinC＝，由正弦定理得＝，∴sinA＝.4．在△ABC中，已知(b＋c)(c＋a)(a＋b)＝456，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinAsinBsinC＝753；④若b＋c＝8，则△ABC的面积为.其中正确结论的序号是________．[答案]　②③[解析]　由条件可设∴故①不正确；-10-\n由余弦定理可得cosA＝－，A＝120°，故②正确；由正弦定理得sinAsinBsinC＝abc＝753，故③正确；当b＋c＝4k＝8时，则k＝2，故三角形三边分别为7,5,3，所以S△ABC＝bcsinA＝×5×3×sin120°＝，故④不正确．三、解答题5．(文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC．(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，C．[解析]　(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC知3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－，又A＋B＋C＝π，∴cosA＝－cos(B＋C)＝.(2)由0<A<π及cosA＝知sinA＝，又S△ABC＝2，即bcsinA＝2，∴bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，∴，∴或.(理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝A．(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求△ABC的面积．[解析]　(1)由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，sinB(sinC＋cosC)－sinC(sinB＋cosB)＝.-10-\n整理得　sinBcosC－cosBsinC＝1.即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<π，从而B－C＝.(2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝sin·sin＝cossin＝.6．(文)(2022·山东高考)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．[解析]　(1)∵cosA＝.0<A<π.∴sinA＝.又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.又a＝3.∴由正弦定理得．＝，即＝∴b＝3.(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＋×＝∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.(理)(2022·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．-10-\n[解析]　(1)由·＝2得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝·＋·＝.-10-