【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第4节两角和与差的三角函数新人教B版一、选择题1．(文)(2022·烟台市期中)log2sin＋log2cos的值为( )A．－2 B．－1C.D．1[答案] A[解析] log2sin＋log2cos＝log2(sincos)＝log2(sin)＝log2＝－2.(理)(2022·浙江温州一适)已知sin2α＝，则cos2(α－)＝( )A. B．－C.D．－[答案] C[解析] cos2(α－)＝＝＝＝，故选C.2．(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝[答案] C[解析] 解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，所以＝＝＝tanα.解法2：∵tanα＝＝，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，-11-\n∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.3．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为( )A. B． C. D．[答案] B[解析] ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝.(理)(2022·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg()，且α＋β＝，则实数a的值为( )A．1B．C．1或D．1或10[答案] C[解析] ∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga，tanβ＝lg()＝－lga，∴tan(α＋β)＝＝＝＝1，∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1.∴a＝1或.4．(2022·河北衡水中学五调)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于( )A．－B．－C.D．[答案] C[解析] ∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，∴sinα＋cosα＝－，-11-\n∴sinα＋cosα＝－.∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.5．(文)(2022·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(－α)，则sin2α等于( )A.B．－C.D．－[答案] A[解析] ∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)，－α∈(－，)．又cos2α＝cos(－α)，∴2α＝－α或2α＋－α＝0，∴α＝或α＝－(舍)，∴sin2α＝sin＝，故选A.(理)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝( )A.B．C.或D．或[答案] A[解析] 依题意得sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，选A.6．(2022·池州期末)已知θ是△ABC中的最小角，则sin(θ＋)的取值范围是( )A．(，1]B．[，1]-11-\nC．(，1]D．[，1][答案] B[解析] ∵θ是△ABC中的最小角，不妨设B＝θ，则0<θ≤A,0<θ≤C，∴0<3θ≤A＋B＋C＝π，即0<θ≤.∴<θ＋≤，∴sin(θ＋)的取值范围是[，1]，故选B.二、填空题7．(2022·陕西咸阳质检)已知α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.[答案] [解析] ∵α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.8．函数y＝cos(－2x)＋sin(－2x)的最小正周期为________．[答案] π[解析] y＝coscos2x＋sinsin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝(cos2x＋sin2x)＝sin(2x＋)，∴T＝π.9．(文)下列命题：①存在α、β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ；②存在φ∈R，使f(x)＝cos(3x＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，)，若tanα·tanβ<1，则α＋β<；④△ABC中，sinA>sinB的充要条件是A>B.其中真命题的序号是________．-11-\n[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝时，原式成立；②φ＝时，f(x)为奇函数；③∵tanα·tanβ<1，α，β∈，∴<1，∴sinα·sinβ<cosα·cosβ，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<；④在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆的半径)．(理)(2022·新乡、许昌、平顶山调研)设函数f(x)＝1＋sin2x，g(x)＝2cos2x＋m，若存在x0∈[0，]，f(x0)≥g(x0)，则实数m的取值范围是________．[答案] m≤[解析] 由f(x)≥g(x)得1＋sin2x≥2cos2x＋m，∴m≤sin2x－cos2x，∵y＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，当x∈[0，]时，y∈[－1，]，∴若存在x0∈[0，]，使f(x0)≥g(x0)，则m≤.三、解答题10．(2022·湖北理，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解析] (1)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)．又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，故有10－2sin(t＋)>11，即sin(t＋)<－.又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.-11-\n一、选择题11．(2022·广东中山一模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于( )A．－B．C．－D．[答案] D[解析] ∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2(＋x)和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为( )A.B．C．2D．3[答案] D[解析] 易知|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|2sin2(＋a)－cos2a|＝|1－cos(＋2a)－cos2a|＝|1＋2sin(2a－)|≤3，即最大值是3.13．(2022·山东菏泽期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象( )-11-\nA．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度[答案] A[解析] 由图象知A＝1，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵f()＝－1，∴sin(＋φ)＝－1，∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)．要得到g(x)＝sin2x的图象，需将f(x)的图象右移个单位，故选A.14．(2022·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于( )A.B．C．4D．12[答案] C[解析] 由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝＝4.二、填空题15．(2022·江西赣州博雅文化学校月考)α，β∈(0，)，cos(2α－β)＝，sin(α－2β)＝－，则cos(α＋β)的值等于________．[答案] [解析] ∵α、β∈(0，)，∴－<2α－β<，－<α－2β<，0<α＋β<，sin(α－2β)＝－<0，∴sin(2α－β)＝±，cos(α－2β)＝，若sin(2α－β)＝－，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋(－)×(－)＝1与0<α＋β<矛盾，∴sin(2α－β)＝－，∴cos(α＋β)＝.-11-\n16．(文)(2022·湖南师大附中月考)计算：＝________.[答案] －4[解析] 原式＝＝＝＝＝－4.(理)(2022·甘肃酒泉模拟)＝________.[答案] －4[解析] 原式＝＝＝＝＝＝－4.三、解答题17．(文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知tanB＝，tanC＝，且c＝1.(1)求tan(B＋C)的值；(2)求a的值．[解析] (1)因为tanB＝，tanC＝，所以tan(B＋C)＝＝＝1.(2)因为A＝180°－B－C，tanA＝tan[180°－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－1，又0°<A<180°，所以A＝135°.-11-\n因为tanC＝>0，且0°<C<180°，所以sinC＝.由＝得，＝，∴a＝.(理)已知0<α<，<β<π，且tan＝，sin(α＋β)＝.(1)求cosα和cosβ的值；(2)求tan的值．[解析] (1)∵tan＝，∴tanα＝＝，∴sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中消去sinα得，cos2α＝，∵0<α<，∴cosα＝，∴sinα＝，∵<α＋β<，sin(α＋β)＝>0，∴<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝－.∴cosα和cosβ的值依次为和－.(2)由(1)知cosβ＝－，又已知<β<π，∴sinβ＝，∴tanβ＝－.∴＝－，∵<β<π，∴tan>0，∴tan＝，∴tan＝＝＝－.18．(文)(2022·广东东莞一模)已知f(x)＝2cos(sin＋cos)－1，x∈R.-11-\n(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α，β∈(0，)，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．[解析] (1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，f(x)的最小正周期T＝2π.(2)∵2sin(α＋)＝2，∴sin(α＋)＝1，∵<α＋<，∴α＋＝，∴α＝.∵2sin(β＋)＝，∴sin(β＋)＝，∵<β＋<，<，∴<β＋<，cos(β＋)＝，∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋)＝2sin(＋β)＝2cosβ＝2cos[(β＋)－]＝2cos(β＋)cos＋2sin(β＋)sin＝.(理)(2022·北京海淀一模)已知函数f(x)＝2sinx·cosx，过两点A(t，f(t))，B(t＋1，f(t＋1))的直线的斜率记为g(t)．(1)求g(0)的值；(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在[－，]上的取值范围．[解析] (1)f(x)＝sinx，g(0)＝＝sin－sin0＝.(2)g(t)＝＝sin(t＋)－sint＝sintcos＋costsin－sint＝－sint＋cost＝－sin(t－)，因为t∈[－，]，-11-\n所以t－∈[－，]，所以sin(t－)∈[－1，]，所以g(t)在[－，]上的取值范围是[－，1]．-11-
