【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数的综合应用与实际应用新人教A版一、选择题1．(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )A． B． C． D．2[答案] C[解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝a2h，∴h＝，表面积S＝a2＋3ah＝a2＋，由S′＝a－＝0，得a＝，故选C．(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A．和R B．R和RC．R和R D．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4 (0＜x＜R)，l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R.当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2．(文)(2022·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( )A．1百万件 B．2百万件C．3百万件 D．4百万件[答案] C[解析] 由y′＝－3x2＋27＝0得x＝±3，∵x>0，∴x＝3.当0<x<3时，y′>0，当x>3时，y′<0，∴x-14-\n＝3是函数的极大值点，由实际问题的实际意义知x＝3为函数的最大值点，故选C．(理)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品产量是( )A．100 B．150C．200 D．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A． B． C． D．[答案] C[解析] 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－.令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝.(理)(2022·石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为( )A．3 B．C．2 D．2[答案] D[解析] 设正六棱柱底面边长为a，高为2h，则h＝，V六棱柱＝a2·2＝3a2，V′＝6a－，令V′＝0，解得a＝.∴h＝，∴六棱柱的高为2.4．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( )A．R B．2R-14-\nC．R D．R[答案] C[解析] 设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )A．cm B．cmC．cm D．cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．5．(2022·浙江省名校联考)设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0＝( )A．5 B．C．3 D．[答案] D[分析] “有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)，对t>0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值≤h7(x0)．[解析] ∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－2t，则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，得t＝x，易得ht(x0)max＝g(x)＝x，∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D．6．(文)(2022·山西大同诊断)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D-14-\n，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(0，)C．[，＋∞) D．(－∞，][答案] D[解析] 设g(x)＝f(x)＋x，依题意，存在x∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x＝ax2－2x－a＋＝0.当x＝1时，g(1)＝≠0；当x≠1时，由ax2－2x－a＋＝0得a＝.记h(x)＝(1<x≤4)，则由h′(x)＝＝0得x＝2或x＝(舍去)．当x∈(1,2)时，h′(x)>0；当x∈(2,4)时，h′(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝，故满足题意的实数a的取值范围是(－∞，]，选D．(理)(2022·湖北宜昌模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )A． B．C． D．1[答案] D[解析] x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，∴f(－x)＝ln(－x)＋ax，∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－ln(－x)－ax，∴f′(x)＝－－a，由f′(x)＝0得x＝－.当0>x>－时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－2<x<－时，f′(x)<0，f(x)单调递减．由题设知f(－)＝－ln＋1＝1，∴a＝1，故选D．二、填空题-14-\n7．(2022·开封第一次模拟)已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋3(a，b∈R)，若函数f(x)在[0,1]上单调递减，则a2＋b2的最小值为________．[答案] [解析] 依题意，当x∈[0,1]时，f′(x)＝3x2－2ax＋b≤0，即，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形不难得知，该平面区域内的点(a，b)与原点的距离的平方即为a2＋b2，其最小值等于原点到直线3－2a＋b＝0的距离的平方，即等于.8．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m3[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x (0<x<)，故体积为V＝2x2＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x.由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)，-14-\n∴高为3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8，∴高为1.2m时容积最大．9．(文)若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案] (－1，＋∞)[分析] 函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析] 解法1：f′(x)＝－ax－2＝，由题意知f′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1.解法2：f′(x)＝－ax－2＝，由题意可知f′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解．即a>－在(0，＋∞)内有实数解．∵x∈(0，＋∞)时，－＝(－1)2－1≥－1，∴a>－1.(理)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，根据这一发现可得：(1)函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为________；(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝________.[答案] (1)(，1) (2)2022[解析] (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝，f()＝×()3－×()2＋3×－＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)．(2)f()＋f(1－)＝f()＋f()＝2(k＝1，2，…，1007)，-14-\n∴f()＋f()＋…＋f()＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋f()＝2×1006＋1＝2022.三、解答题10．(2022·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．[解析] (1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40，则日销售量为件，∴日利润y＝(x－30－t)·.∴y＝(35≤x≤41)．(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35，∴当35≤x≤41时，y′≤0.∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e5.②当4<t≤5时，35<t＋31≤36，函数y在[35，t＋31]上单调递增，在[t＋31,41]上单调递减．∴当x＝t＋31时，y取最大值10e9－t.∴当2≤t≤4，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元；当4<t≤5，x＝31＋t时，日利润最大值为10e9－t元．一、解答题11．(文)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，销售量为100kg.(每日利润＝日销售量×(每公斤出厂价－成本价－加工费))．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．-14-\n[解析] (1)设日销售量q＝，则＝100，∴k＝100e30，∴日销售量q＝，∴y＝(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝，y′＝.由y′≥0得x≤26，由y′≤0得x≥26，∴y在[25,26]上单调递增，在[26,40]上单调递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解析] (1)设隔热层厚度为xcm，由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.又建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6.解得x＝5，或x＝－(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，-14-\n故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．12．(文)(2022·希望高中月考)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．[解析] (1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0②由①②消去x0，可得a＋b＝.(2)由(1)知：b＝－a，∴ab＝a(－a)＝－(a－)2＋.∴当a＝时，(ab)最大值＝.(理)(2022·洛阳统考)已知函数f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－x－1.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M，求满足该不等式的最大整数M；(2)如果对任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M⇔x1，x2∈[0,2]，[g(x1)－g(x2)]max≥M.∵g′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当1<x<2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)max＝max{g(0)，g(2)}＝g(2)＝1，g(x)min＝g(1)＝－2，∴[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝3，满足不等式的最大整数M＝3.-14-\n(2)由(1)知，当x∈[，2]时，g(x)max＝g(2)＝1，依题意，对任意的s，t∈[，2]都有f(s)≥g(t)成立⇔当x∈[，2]时，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立．则有f(1)＝≥1，∴a≥2.当a≥2且x∈[，2]时，f(x)＝＋xlnx≥＋xlnx.记h(x)＝＋xlnx，∴h′(x)＝－＋lnx＋1，且h′(1)＝0.当x∈(，1)时，h′(x)＝－＋lnx＋1<0，当x∈(1,2)时，h′(x)＝－＋lnx＋1>0，∴h(x)＝＋xlnx在(，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝1，即h(x)≥1，∴当a≥2时原不等式成立．∴a的取值范围是[2，＋∞)．13．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000 (0<v≤100)．(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元．(理)(2022·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．-14-\n(1)求V关于θ的函数表达式．(2)求θ的值，使体积V最大．(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．[解析] (1)梯形ABCD的面积SABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈(0，)．体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈(0，)．(2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令V′(θ)＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍)．∵θ∈(0，)，∴θ＝.当θ∈(0，)时，<cosθ<1，V′(θ)>0，V(θ)为增函数；当θ∈(，)时，0<cosθ<，V′(θ)<0，V(θ)为减函数．∴当θ＝时，体积V最大．(3)木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20(cosθ＋2sin＋1)，θ∈(0，)．S＝2SABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin＋1)，θ∈(0，)．设g(θ)＝cosθ＋2sin＋1，θ∈(0，)．∵g(θ)＝－2sin2＋2sin＋2，∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大．又由(2)知θ＝时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，∴θ＝时，木梁的表面积S最大．综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．14．(文)(2022·河北唐山二模)已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R.-14-\n(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范围．[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)的最小值为f(1)＝0.(2)f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0.由于x＞0，所以f(x)＞x等价于x－＞a＋1.令g(x)＝x－，则g′(x)＝.当x∈(0,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0.g(x)有最小值g(1)＝1.故a＋1＜1，a的取值范围是(－∞，0)．(理)(2022·黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)＝xlnx(x>0)．(1)试求函数f(x)的单调区间和最值；(2)若g(x)＝f′(x)，直线y＝kx＋b与曲线g(x)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，若x0＝，试证明k>g′(x0)．[解析] (1)f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)>0得x>，函数f(x)的减区间是(0，]，增区间是[，＋∞)，f(x)min＝f()＝－.(2)证明：g(x)＝f′(x)＝lnx＋1，令x1>x2>0，k＝，g′(x0)＝＝，构造函数F(x)＝g(x1)－g(x2)－＝lnx1－lnx2－＝ln－，令＝t，则h(t)＝lnt－(t>1)，h′(t)＝>0，所以h(t)>h(1)＝0，所以F(x)>0，即k>g′(x0)．15．(文)(2022·邯郸市一模)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx＋1.(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的范围，使得f(x)≥1恒成立．[解析] (1)f′(x)＝x－(a＋1)＋(x>0)，-14-\n∵x＝3是f(x)的极值点，∴f′(3)＝3－(a＋1)＋＝0，解得a＝3.当a＝3时，f′(x)＝＝.当x变化时，x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1)＝－.(2)要使得f(x)≥1恒成立，即x>0时，x2－(a＋1)x＋alnx≥0恒成立．设g(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx，，则g′(x)＝x－(a＋1)＋＝(ⅰ)当a≤0时，由g′(x)<0得单减区间为(0,1)，由g′(x)>0得单增区间为(1，＋∞)g(x)min＝g(1)＝－a－≥0，得a≤－(ⅱ)当0<a<1时，由g′(x)<0得单减区间为(a,1)，由g′(x)>0得单增区间为(0，a)，(1，＋∞)，此时g(1)＝－a－<0，∴不合题意．(ⅲ)当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单增，此时g(1)＝－a－<0，∴不合题意．(ⅳ)当a>1时，由g′(x)<0得单减区间为(1，a)，由g′(x)>0得单增区间为(0,1)，(a，＋∞)，此时g(1)＝－a－<0∴不合题意．综上所述：a≤－时，f(x)≥1恒成立．(理)(2022·郑州市质检)已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)过点P(0，)作直线l与曲线y＝f(x)相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈(，)．-14-\n[解析] (1)由题知f′(x)＝(x∈R)，令f′(x)>0，x<1，令f′(x)<0，x>1，所以函数f(x)的增区间为(－∞，1)，减区间为(1，＋∞)，其极大值为f(1)＝，无极小值．(2)设切点为(x0，f(x0))，则所作切线的斜率k＝f′(x0)＝，所以直线l的方程为：y－＝(x－x0)，注意到点P(0，)在切线l上，所以－＝(－x0)，整理得：－＝0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令g(x)＝－，则g′(x)＝－，令g′(x)>0则0<x<2，令g′(x)<0则x<0或x>2，所以，函数g(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，注意到g(0)＝－<0，g(2)＝0，g(－1)＝e－>0，所以方程g(x)＝0的解为x＝2，或x＝t(－1<t<0)，即过点P(0，)恰好可以作两条与曲线y＝f(x)相切的直线．当x＝2时，对应的切线斜率k1＝f′(2)＝－，当x＝t时，对应的切线斜率k2＝，令h(t)＝(－1<t<0)，则h′(t)＝<0，所以h(t)在(－1,0)上为减函数，即1＝h(0)<h(t)<h(－1)＝2e,1<k2<2e，所以m＝k1＋k2∈(，)．-14-
