【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第4节向量的应用及向量与其他知识的综合问题新人教B版一、选择题1．(文)在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知||2＝(＋)·(－)＝||2－||2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．(理)(2022·邯郸模拟)设P是曲线y＝上一点，点P关于直线y＝x的对称点为Q，点O为坐标原点，则·＝( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 设P(x0，)，则Q(，x0)，∴·＝x0·＋·x0＝2.2．(文)(2022·咸阳诊断)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是( )A．－B．－C．－D．不确定[答案] B[解析] 依题意得·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝()2－2＝-11-\n－1＝－，故选B.(理)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为( )A．8 B．6 C．5 D．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)，＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，＝(x，y)由坐标系可知∵·＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴·的最大值为6，故选B.3．(文)(2022·东营模拟)设a，b是不共线的两个向量，其夹角是θ，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)(x∈R)在(0，＋∞)上有最大值，则( )A．|a|<|b|，且θ是钝角B．|a|<|b|，且θ是锐角C．|a|>|b|，且θ是钝角D．|a|>|b|，且θ是锐角[答案] D[解析] ∵f(x)＝(－a·b)x2＋(|a|2－|b|2)x＋a·b在(0，＋∞)上有最大值，∴∴∴|a|>|b|且θ为锐角．(理)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为( )A.B．C.D．[答案] C[解析] ∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝＝＝.又∵当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0，∴cosθ＝－，∴θ＝.故选C.4．(2022·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(-11-\nsinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )A.B．C.D．[答案] C[解析] m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，又因为C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.5．(2022·广州梅州二模)已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为( )A．(－3,0)B．(3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案] B[解析] 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时·有最小值，∴P(3,0)．6．(文)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足x＋y＋＝0(x，y∈R)，则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为( )A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1[答案] D[解析] ∵x＋y＋＝0，∴＝x＋y，∵AD＝2AB，∠BAD＝60°，∴BD＝AB，∴||＝||＝||，∴||2＝(x＋y)2＝x2||2＋y2||2＋2xy··＝x2||2＋4y2||2＋2xy·||·||·cos60°＝(x2＋4y2＋2xy)||2，∴x2＋4y2＋2xy＝1，故选D.(理)(2022·山西大学附中二模)过抛物线x2＝2py的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB为( )A.锐角三角形B．直角三角形C.钝角三角形D．不确定[答案] C-11-\n[解析] 设直线l的方程为y＝kx＋，由，得x2－2pkx－p2＝0，∴x1x2＝－p2，y1y2＝＝，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－p2<0，∴∠AOB为钝角，故选C.二、填空题7.(2022·济南模拟)在△ABC中，E为AC上一点，且＝4，P为BE上一点，且满足＝m＋n(m>0，n>0)，则＋取最小值时，向量a＝(m，n)的模为________．[答案] [解析] 因为＝m＋n＝m＋4n，B，P，E三点共线，所以m＋4n＝1，(m＋4n)(＋)＝1＋＋4＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，此时m＝，n＝，所以|a|＝＝.8．(文)(2022·晋江调研)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．[答案] [解析] ∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.(理)(2022·南京盐城二模)已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为________．[答案] [解析] 令＝，＝，因为||＝1，||＝2，所以||＝||，由＝＋＝＋，可知四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对角，因为∠AOB＝，所以∠AOC＝.9．(2022·江西南昌二模)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)-11-\n[答案] ②[解析] 由a·b＝a·c得a·(b－c)＝0，∴(b－c)⊥a，∴命题①错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．三、解答题10．(文)(2022·漳县二中月考)已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(，1)，其中θ∈(0，)．(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．[解析] (1)∵a∥b，∴sinθ·1－cosθ＝0，求得tanθ＝.又∵θ∈(0，)，∴θ＝.∴sinθ＝，cosθ＝.(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或化为2sin(θ－)＝0来求解)(2)f(θ)＝(sinθ＋)2＋(cosθ＋1)2＝2sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋)＋5，又∵θ∈(0，)，θ＋∈(，)，<sin(θ＋)≤1，∴7<f(θ)≤9，即函数f(θ)的值域为(7,9]．(理)(2022·福建福州质检)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．[解析] (1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2－1)＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．故S△ABC＝acsinB＝ac≤，-11-\n当且仅当a＝c＝2时等号成立，即S△ABC的最大值为.一、选择题11．(文)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)[答案] B[解析] 由题意F(1,0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，∵·＝－4，∴(1－)－y＝－4，解得y0＝2或y0＝－2.∴当y0＝2时，x0＝＝1；当y0＝－2时，x0＝＝1.故A(1，±2)．故选B.(理)(2022·襄阳一中检测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为( )A.B．C.D．2[答案] D[解析] 设∠FOA＝α，∵OA⊥FB，且＝2，∴OA为FB的中垂线，∴∠FOB＝2α，∵tanα＝，tan2α＝－，∴＝－，∴()2＝3，∴＝3，∴e＝＝2.12．(2022·江南十校一模)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosθ，sinθ)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值为( )A.－1B．1-11-\nC.D．3－2[答案] D[解析] 因为ma＋nb＝c，所以m(1,1)＋n(1，－1)＝(cosθ，sinθ)，所以则(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，所以点P(m，n)在以原点O为圆心，以1为半径的圆上，(m－1)2＋(n－1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方，由圆的性质知(m－1)2＋(n－1)2的最小值是(－1)2＝3－2.13．(文)(2022·四川成都五校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，点P是BC的中点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β等于( )A.B．C.D．[答案] D[解析] 建立如图所示的坐标系，B(3,0)，D(0,1)，C(1,1)．∵P为BC的中点，∴P(2，)．∵＝α＋β，∴(2，)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，∴3β＝2，α＝，∴α＋β＝，故选D.(理)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0，则A·ω等于( )A.B．π-11-\nC.πD．π[答案] C[解析] 由图可知，T＝4(－)＝π，∴ω＝2.∵M(，1)在图象上，∴sin(2×＋φ)＝1，∵|φ|＝，∴φ＝，∴y＝Asin(2x＋)，又∵M(，A)，N(，－A)，·＝0，∴×－A2＝0，∴A＝π，∴A·ω＝2×π＝π，故选C.14．(2022·内蒙古赤峰市统考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长F1E交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )A.B．C.D．[答案] C[解析] ∵PF1与圆x2＋y2＝相切，∴OE⊥PF1，且OE＝，∵＝(＋)，∴E为PF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF1|＝|PF2|＋2a＝3a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴a2＋9a2＝4c2，∴e2＝，∵e>1，∴e＝.二、填空题15．(2022·天津和平区质量调查)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，E为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．[答案] －[解析] 如图，由已知得BD＝1，CD＝2，∴＝，＝.-11-\n＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝－－，∴λ＝－，μ＝－，∴λ＋μ＝－.[点评] 用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素(如将线段表示为向量)，将平面几何问题转化为向量问题，要特别注意挖掘题目中的隐含条件；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题．16．(2022·开封四中期中)在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为________．[答案] －[解析] ∵＝2，∴D为BC的中点，∴＝(＋)；∵＝3，∴＝，∴·＝(＋)·(－＋)＝－||2－·＋||2＝－×22－×22×cos120°＋×22＝－.三、解答题17．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－-11-\n，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．[解析] 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由＝－得，(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，∴∴把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，整理得y＝x2(x≠0)．18．(文)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明·＝0，可设＝m，＝c，＝b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设＝c，＝b，＝m，则＝－＝m－c，＝－＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即·(－)＝0，∴·＝0，∴AD⊥BC.(理)已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF＝AE.[证明] 如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)，设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)，-11-\n又∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0 ①.又||＝||，∴x2＋y2－2＝0 ②.由①②得或(舍去)，即E(，)．设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝(，)共线得x′－＝0，解得x′＝－2－，∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，＝(，－)，∴||＝＝1＋＝||，∴AF＝AE.-11-
